Use as relações de mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares para obter a equação polar correspondente a cada equação cartesiana dada.
x^2=y^24.

Passo 1

O enunciado pede para converter a equação cartesiana x^2 = tfracy^24 em coordenadas polares usando as relações de mudança de variável. O conteúdo aqui é transformação de coordenadas, e vamos precisar usar x = rcostheta e y = rsintheta.

Passo 2

Substituímos x e y pelas expressões polares:
r^2cos^2theta = 14,r^2sin^2theta

Passo 3

Cancelamos r^2 (válido para rneq0, lembrando que r=0 também satisfaz trivialmente a equação) e obtemos
cos^2theta = tfrac14sin^2theta

Passo 4

Dividindo ambos os lados por cos^2theta (desde que costhetaneq0) temos
1 = tfrac14tan^2theta
ou seja
tan^2theta = 4

Passo 5

Tirando raiz, chega-se a
tantheta = pm2
Isso significa que as soluções angulares são
theta = arctan(2) + kpioutheta = arctan(-2) + kpi,

Passo 6

Logo, em coordenadas polares a curva é descrita pelas direções tantheta=pm2, ou equivalentemente pelos raios r sobre essas retas de ângulo constante.

Resposta

tantheta = pm 2