Use o Teorema 9.5.2 para determinar quais das seguintes matrizes são positivas.
(c) [lll1 & 2 & 1 2 & 1 & 1 1 & 1 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema 9.5.2 (critérios de Sylvester) e verificar se a matriz
A = 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1 1 & 1 & 3
é positiva definida. Para isso, vamos calcular os menores principais líderes e checar se todos são estritamente positivos. Segundo o Teorema 9.5.2, uma matriz simétrica é positiva definida se, e somente se, todos os menores principais líderes (os determinantes dos subblocos que vão de 1times1 até ntimes n no canto superior esquerdo) forem positivos.

Passo 2

O primeiro menor principal é
De<a1 = detl([,1,]r) = 1 > 0

Passo 3

O segundo menor principal é
De<a2 = det 1 & 2 2 & 1 = 1cdot1 - 2cdot2 = -3 < 0

Passo 4

Já que De<a2<0, a condição necessária de Sylvester falha, logo A não pode ser positiva definida.

Resposta

A matriz não é positiva definida.