Verifique se o triângulo de vértices A=(2,-1,4), B=(-3,11,-5) e C=(1,3,-4) é isósceles.

Passo 1

Temos um triângulo de vértices A=(2,-1,4), B=(-3,11,-5) e C=(1,3,-4). Para verificar se ele é isósceles, vamos usar geometria analítica no espaço e a fórmula da distância entre dois pontos em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Calcular o quadrado da distância \overline{AB}. O vetor \overrightarrow{AB}=B-A é
\overrightarrow{AB}=(-3-2,\;11-(-1),\;-5-4)=(-5,12,-9),
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|\overrightarrow{AB}|^2 = (-5)^2 + 12^2 + (-9)^2 = 25 + 144 + 81 = 250.

Passo 3

Calcular o quadrado da distância \overline{AC}. O vetor \overrightarrow{AC}=C-A é
\overrightarrow{AC}=(1-2,\;3-(-1),\;-4-4)=(-1,4,-8),
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|\overrightarrow{AC}|^2 = (-1)^2 + 4^2 + (-8)^2 = 1 + 16 + 64 = 81.

Passo 4

Calcular o quadrado da distância \overline{BC}. O vetor \overrightarrow{BC}=C-B é
\overrightarrow{BC}=(1-(-3),\;3-11,\;-4-(-5))=(4,-8,1),
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|\overrightarrow{BC}|^2 = 4^2 + (-8)^2 + 1^2 = 16 + 64 + 1 = 81.

Passo 5

Comparando os quadrados das distâncias, temos
|\overrightarrow{AB}|^2 = 250,\quad |\overrightarrow{AC}|^2 = 81,\quad |\overrightarrow{BC}|^2 = 81.
Como |\overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{BC}|^2 \neq |\overrightarrow{AB}|^2, segue que \overline{AC} = \overline{BC} e \overline{AB} é diferente.

Resposta

Sim, o triângulo é isósceles, pois \overline{AC} = \overline{BC} = 9 e \overline{AB} = 5\sqrt{10}.