Um vetor x em " pode também ser visto como uma matriz n × 1 X :
Como se comparam a norma matricial “.” e a norma vetorial “.” ? Explique.

Passo 1

O enunciado diz que um vetor xin R^n pode ser visto como matriz coluna Xin R^ntimes1. Queremos comparar a norma vetorial |x| com a norma matricial induzida |X|. Para isso, vamos usar a definição de norma matricial induzida por uma norma vetorial.

Passo 2

Relembrando, dada uma norma vetorial |cdot| em R^n, a norma matricial induzida em Ain R^mtimes p é
|A| ;=; supyneq0|A,y||y|,
No nosso caso, A=X tem p=1, ou seja, yin R^1.

Passo 3

Para qualquer escalar yneq0, no domínio R^1 vale |y|=|y| e
X,y ;=; x,y
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|Xy||y| ;=; |x,y||y|

Passo 4

Usando a homogeneidade da norma vetorial, |x,y| = |y|,|x|. Portanto
|x,y||y| ;=; |x|,
que independe de yneq0. Assim o supremo é |x|.

Resposta

A norma matricial induzida de X coincide exatamente com a norma vetorial de x:
|X| ;=;|x|