(1,0) A alternativa que representa o vetor (
), em que G é o centro de massa do conjunto composto por disco e massa concentrada, em função de
:
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar o vetor
, isto é, o vetor posição do centro de massa
do conjunto formado por um disco e uma massa concentrada, expresso em função de
.\n
Informações relevantes dadas (explicitadas para não deixar dúvida):\n
Informações relevantes dadas (explicitadas para não deixar dúvida):\n
- Há um disco cujo centro coincide com o ponto
. - Há uma massa concentrada localizada na periferia do disco, a uma distância
do centro, num ângulo . - As alternativas propostas mostram componentes com
e (com sinal negativo na componente ), então seguirei a convenção usada pelas alternativas: a posição da massa concentrada é . - Não foi fornecido explicitamente na sua mensagem o valor relativo das massas, mas como há uma alternativa com fator
que corresponde justamente ao caso em que a massa concentrada tem a mesma massa do disco, vou deduzir que esse é o caso considerado (isso é consistente com as alternativas).
Passo 2
Conhecimento básico que vamos usar (explicado passo a passo): centro de massa de um sistema discreto.\n
Se temos duas massas e
localizadas em
e
, o vetor posição do centro de massa
relativo à origem é dado por
Se temos duas massas
Explicando: é uma média ponderada das posições, onde cada posição é ponderada pela respectiva massa. Isso dá o ponto “de equilíbrio” ponderado pelas massas.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: identifiquemos
e
e suas posições.\n
- O disco é uniforme e seu centro geométrico coincide com
. Por simetria, o centro de massa do disco está em . Se chamarmos a massa do disco de , a posição do centro de massa do disco é
(Explicação: um disco homogêneo tem seu centro de massa no centro geométrico.)\n
- A massa concentrada (chame-a de
) está em um ponto da borda do disco com coordenadas, conforme a convenção das alternativas,
(Explicação: passamos de coordenadas polares
para cartesianas usando
e
; o sinal negativo em
vem da posição mostrada nas alternativas/figura presumida.)
Passo 4
Escrevendo a fórmula do centro de massa para o sistema disco + massa concentrada:
Substituindo
e
:
(Explicação: o termo do disco some porque seu centro de massa está na origem.)
Passo 5
Agora consideramos o caso plausivelmente pedido pelas alternativas: massa do ponto igual à massa do disco, isto é
.\n
Substituindo na expressão anterior:
Substituindo
Fatorando:
(Explicação: quando as duas massas são iguais, o centro de massa fica no ponto médio entre as posições dos centros de massa individuais — aqui, entre
e a posição da massa concentrada.)
Passo 6
Interpretação final e comparação com as alternativas: a expressão obtida coincide exatamente com a terceira alternativa listada:
Portanto essa é a alternativa correta dado o caso
, que é o cenário consistente com as opções apresentadas e com o fator
que aparece na alternativa.