(1,0) A alternativa que representa o vetor ( \mathrm{G}-0 ), em que G é o centro de massa do conjunto composto por disco e massa concentrada, em função de \theta :
(G-O)=R \cos \theta \vec{i}-R \operatorname{sen} \theta \vec{j}
(G-O)=-\frac{R}{2} \vec{j}
(G-O)=\frac{R \cos \theta}{2} \vec{i}-\frac{R \operatorname{sen} \theta}{2} \vec{j}
(G-O)=\frac{R}{2} \vec{i}
(G-O)=\overrightarrow{0}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o vetor (G-O), isto é, o vetor posição do centro de massa G do conjunto formado por um disco e uma massa concentrada, expresso em função de \theta.\n
Informações relevantes dadas (explicitadas para não deixar dúvida):\n
  • Há um disco cujo centro coincide com o ponto O.
  • Há uma massa concentrada localizada na periferia do disco, a uma distância R do centro, num ângulo \theta.
  • As alternativas propostas mostram componentes com \cos\theta e \operatorname{sen}\theta (com sinal negativo na componente y), então seguirei a convenção usada pelas alternativas: a posição da massa concentrada é (R\cos\theta,\,-R\operatorname{sen}\theta).
  • Não foi fornecido explicitamente na sua mensagem o valor relativo das massas, mas como há uma alternativa com fator 1/2 que corresponde justamente ao caso em que a massa concentrada tem a mesma massa do disco, vou deduzir que esse é o caso considerado (isso é consistente com as alternativas).

Passo 2

Conhecimento básico que vamos usar (explicado passo a passo): centro de massa de um sistema discreto.\n
Se temos duas massas m_1 e m_2 localizadas em \vec{r}_1 e \vec{r}_2, o vetor posição do centro de massa \vec{r}_G relativo à origem é dado por
\vec{r}_G=\frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{m_1+m_2}.
Explicando: é uma média ponderada das posições, onde cada posição é ponderada pela respectiva massa. Isso dá o ponto “de equilíbrio” ponderado pelas massas.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: identifiquemos m_1 e m_2 e suas posições.\n
  • O disco é uniforme e seu centro geométrico coincide com O. Por simetria, o centro de massa do disco está em O. Se chamarmos a massa do disco de M, a posição do centro de massa do disco é
\vec{r}_{\text{disco}}=\vec{0}.
(Explicação: um disco homogêneo tem seu centro de massa no centro geométrico.)\n
  • A massa concentrada (chame-a de m) está em um ponto da borda do disco com coordenadas, conforme a convenção das alternativas,
\vec{r}_m = R\cos\theta\,\vec{i} - R\operatorname{sen}\theta\,\vec{j}.
(Explicação: passamos de coordenadas polares (R,\theta) para cartesianas usando x=R\cos\theta e y=R\sin\theta; o sinal negativo em y vem da posição mostrada nas alternativas/figura presumida.)

Passo 4

Escrevendo a fórmula do centro de massa para o sistema disco + massa concentrada:
\vec{r}_G=\frac{M\vec{r}_{\text{disco}}+m\vec{r}_m}{M+m}.
Substituindo \vec{r}_{\text{disco}}=\vec{0} e \vec{r}_m:
\vec{r}_G=\frac{M\cdot\vec{0}+m\left(R\cos\theta\,\vec{i}-R\operatorname{sen}\theta\,\vec{j}\right)}{M+m} =\frac{m}{M+m}\left(R\cos\theta\,\vec{i}-R\operatorname{sen}\theta\,\vec{j}\right).
(Explicação: o termo do disco some porque seu centro de massa está na origem.)

Passo 5

Agora consideramos o caso plausivelmente pedido pelas alternativas: massa do ponto igual à massa do disco, isto é m=M.\n
Substituindo m=M na expressão anterior:
\vec{r}_G=\frac{M}{M+M}\left(R\cos\theta\,\vec{i}-R\operatorname{sen}\theta\,\vec{j}\right) =\frac{1}{2}\left(R\cos\theta\,\vec{i}-R\operatorname{sen}\theta\,\vec{j}\right).
Fatorando:
\vec{r}_G=\frac{R\cos\theta}{2}\,\vec{i}-\frac{R\operatorname{sen}\theta}{2}\,\vec{j}.
(Explicação: quando as duas massas são iguais, o centro de massa fica no ponto médio entre as posições dos centros de massa individuais — aqui, entre O e a posição da massa concentrada.)

Passo 6

Interpretação final e comparação com as alternativas: a expressão obtida coincide exatamente com a terceira alternativa listada:
(G-O)=\frac{R\cos\theta}{2}\,\vec{i}-\frac{R\operatorname{sen}\theta}{2}\,\vec{j}.
Portanto essa é a alternativa correta dado o caso m=M, que é o cenário consistente com as opções apresentadas e com o fator 1/2 que aparece na alternativa.

Resposta

(G-O)=\frac{R \cos \theta}{2} \vec{i}-\frac{R \operatorname{sen} \theta}{2} \vec{j}

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