Determine a energia de deformaçāo no conjunto de hastes. A porção A B é de aço, B C de latão e C D de alumínio. E_{\mathrm{arp}}=200 \mathrm{GPa}, E_{\mathrm{ba}}=101 \mathrm{GPa} e E_{\mathrm{al}}=73,1 \mathrm{GPa}.

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar a energia de deformação no conjunto de hastes” sendo que a porção AB é de aço, BC de latão e CD de alumínio. Foram dadas as propriedades elásticas:
E_{AB}=200\\ \mathrm{GPa},\quad E_{BC}=101\\ \mathrm{GPa},\quad E_{CD}=73{,}1\\ \mathrm{GPa}.
Informações relevantes fornecidas: os módulos de elasticidade das três porções (acima).
Informações que faltam e são necessárias para obter um valor numérico: os comprimentos das porções \,L_{AB},L_{BC},L_{CD}\,, as áreas das seções transversais \,A_{AB},A_{BC},A_{CD}\,, e a condição de carregamento (força axial aplicada P ou deslocamento imposto \delta no conjunto). Se o enunciado depende de uma figura com geometrias ou cargas que não foi enviada, não há como calcular um valor numérico final. Vou então explicar passo a passo como se calcula a energia de deformação e apresentar as fórmulas finais que você pode usar assim que tiver os comprimentos, áreas e a carga ou deslocamento.

Passo 2

Conceito físico e fórmula fundamental: energia de deformação (energia elástica) numa pequena região é a energia armazenada por deformação elástica. Para material linear-elástico unidimensional (tração/compressão), a densidade de energia (energia por unidade de volume) é
u=\frac{1}{2}\sigma\varepsilon,
onde \sigma é a tensão e \varepsilon é a deformação. Essa fórmula vem do trabalho incremental dW=\sigma\,d\varepsilon por unidade de volume, integrado desde zero até \varepsilon (para material linear dá \frac{1}{2}\sigma\varepsilon). Aqui:
  • \sigma é a tensão axial (força por área), unidade \mathrm{Pa}.
  • \varepsilon é a deformação axial (sem dimensão), \varepsilon=\Delta L/L.
Para o material linear, a lei de Hooke relaciona tensão e deformação:
\sigma=E\,\varepsilon,
onde E é o módulo de elasticidade (dado no enunciado).

Passo 3

Energia para uma haste uniforme submetida a uma força axial P: considere uma haste com comprimento L, área A, módulo E e força axial constante P. Então:
  • A tensão é \sigma=\dfrac{P}{A}.
  • A deformação é \varepsilon=\dfrac{\sigma}{E}=\dfrac{P}{E A}.
    A densidade de energia é
u=\frac{1}{2}\sigma\varepsilon=\frac{1}{2}\frac{P}{A}\cdot\frac{P}{E A}=\frac{P^{2}}{2E A^{2}}.
A energia total armazenada na haste é a densidade vezes o volume V=A L:
U=\;u\cdot A L=\frac{P^{2}}{2E A^{2}}\cdot A L=\frac{P^{2}L}{2E A}.
Portanto, para uma única haste axial com força P,
U=\frac{P^{2}L}{2E A}.
Observação prática: essa mesma expressão pode ser escrita como U=\tfrac{1}{2}P\delta, onde \delta é o alongamento \delta=\dfrac{PL}{EA}. Assim U=\tfrac{1}{2}P\delta=\tfrac{P^{2}L}{2EA}; ambas as formas são úteis dependendo se você conhece P ou \delta.

Passo 4

Energia total para hastes em série (caso típico): se as três porções AB, BC, CD estão alinhadas em série e sujeitas à mesma força axial P (situação comum quando uma força axial é aplicada na extremidade livre e a outra extremidade está presa), cada porção armazena energia
U_{i}=\frac{P^{2}L_{i}}{2E_{i}A_{i}},
onde i\in\{AB,BC,CD\}. A energia total é a soma:
U_{\text{total}}=\sum_{i} U_{i}=\frac{P^{2}}{2}\sum_{i}\frac{L_{i}}{E_{i}A_{i}}.
Definindo L_{AB},L_{BC},L_{CD} e A_{AB},A_{BC},A_{CD} para cada segmento, essa é a expressão que dá a energia armazenada em função de P e das dimensões/propriedades dos materiais.

Passo 5

Interpretação via rigidezes: para cada haste podemos definir a rigidez axial
k_{i}=\frac{E_{i}A_{i}}{L_{i}}.
Para hastes em série, a rigidez equivalente é
k_{\mathrm{eq}}=\left(\sum_{i}\frac{1}{k_{i}}\right)^{-1}=\left(\sum_{i}\frac{L_{i}}{E_{i}A_{i}}\right)^{-1}.
Se a entrada de dados vier na forma de deslocamento imposto \delta (em vez de força), a força resultante será P=k_{\mathrm{eq}}\delta e a energia pode ser escrita como
U_{\text{total}}=\frac{1}{2}k_{\mathrm{eq}}\delta^{2}.
Essas duas formas (força-controlada e deslocamento-controlada) são equivalentes via P=k_{\mathrm{eq}}\delta e U=\tfrac{1}{2}P\delta.

Passo 6

Como proceder na prova (passo-a-passo prático):
  1. Identifique se o problema dá P (força) ou \delta (deslocamento).
  2. Recolha ou leia as três quantidades para cada segmento: L_{i} e A_{i} (e use os E_{i} fornecidos).
  3. Se P for dado: calcule cada U_{i}=\dfrac{P^{2}L_{i}}{2E_{i}A_{i}} e some; ou use U_{\text{total}}=\dfrac{P^{2}}{2}\sum_{i}\dfrac{L_{i}}{E_{i}A_{i}}.
  4. Se \delta for dado: calcule k_{i}=\dfrac{E_{i}A_{i}}{L_{i}}, então k_{\mathrm{eq}}=(\sum 1/k_{i})^{-1} e U=\dfrac{1}{2}k_{\mathrm{eq}}\delta^{2}.
  5. Faça as contas com atenção às unidades (por ex. E em Pa, L em m, A em m², P em N) para obter U em joules.

Passo 7

Conclusão específica para o seu enunciado: não posso fornecer um número final porque faltam os comprimentos \,L_{AB},L_{BC},L_{CD}\,, as áreas \,A_{AB},A_{BC},A_{CD}\, e a condição de carregamento ( P ou \delta). Assim que você fornecer esses valores (ou a figura que contenha essas dimensões e a carga), eu calculo passo a passo o valor numérico da energia. Enquanto isso, use as fórmulas abaixo para inserir os seus dados.

Resposta

U_{i}=\frac{P^{2}L_{i}}{2E_{i}A_{i}}\quad\text{(energia armazenada em cada porção)}çã
U_{\text{total}}=\frac{P^{2}}{2}\sum_{i}\frac{L_{i}}{E_{i}A_{i}}\quad\text{(se a força axial \(P\) for conhecida)}ç
k_{i}=\frac{E_{i}A_{i}}{L_{i}},\quad k_{\mathrm{eq}}=\left(\sum_{i}\frac{L_{i}}{E_{i}A_{i}}\right)^{-1},\quad U_{\text{total}}=\frac{1}{2}k_{\mathrm{eq}}\delta^{2}\quad\text{(se o deslocamento \(\delta\) for conhecido)}

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