Um alto-falante, num concerto de rock, gera 10^{-2} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} a 20 m , na freqüência de 1 kHz . Vamos admitir que o alto-falante emita uniformemente a sua energia no hemisfério frontal e que não haja energia refletida pelo solo, ou por outros obstáculos, de modo que a intensidade do som possa ser estimada por I=P / 2 \pi r^{2}. (a) Qual o nível de intensidade a 20 m ? (b) Qual a potência acústica total emitida pelo alto-falante? (c) A que distância o nível de intensidade atingirá o limiar da audição dolorosa, 120 dB ? (d) Qual o nível de intensidade a 30 m ?

Passo 1

Vamos clarear o que o enunciado dá e o que pede, listando tudo bem organizado.
Dados fornecidos:
  • A intensidade do som a 20 m é \,I(20\,\mathrm{m}) = 10^{-2}\\ \mathrm{W/m^{2}}\,.
  • A frequência ( 1\\ \mathrm{kHz}) é informada, mas nesta questão não é necessária para os cálculos pedidos.
  • O alto-falante emite uniformemente para o hemisfério frontal; por isso a intensidade a distância r pode ser estimada por
I(r)=\frac{P}{2\pi r^{2}},
onde P é a potência acústica total emitida pelo alto-falante e 2\pi r^{2} é a área de um hemisfério de raio r.
  • Referência padrão para nível de intensidade sonora: \,I_{0}=10^{-12}\\ \mathrm{W/m^{2}}\,.
O que o enunciado pede:
(a) O nível de intensidade (em decibéis) a 20\\ \mathrm{m}.
(b) A potência acústica total P emitida pelo alto-falante.
(c) A que distância o nível de intensidade será 120\\ \mathrm{dB}.
(d) O nível de intensidade (em decibéis) a 30\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito e fórmula do nível de intensidade sonora (aula rápida e prática).
  • O nível de intensidade sonora L em decibéis é definido por
L = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_{0}}\right),
onde:
  • I é a intensidade sonora em \mathrm{W/m^{2}},
  • I_{0}=10^{-12}\\ \mathrm{W/m^{2}} é a intensidade de referência (limiar da audição).
  • A unidade “decibel” é uma escala logarítmica que mede a razão entre intensidades; isso significa que multiplicar a intensidade por 10 adiciona 10\\ \mathrm{dB}, multiplicar por 100 adiciona 20\\ \mathrm{dB}, etc.
Aplicando para (a): nível a 20\\ \mathrm{m}.
  • Temos \,I(20)=10^{-2}\\ \mathrm{W/m^{2}}\,. Então
\frac{I(20)}{I_{0}}=\frac{10^{-2}}{10^{-12}}=10^{10}.
  • Logo
L(20)=10\log_{10}\!\left(10^{10}\right)=10\cdot 10 = 100\\ \mathrm{dB}.
Interpretação curta: intensidade de 10^{-2}\\ \mathrm{W/m^{2}} corresponde a 100\\ \mathrm{dB}.

Passo 3

Encontrar a potência total P (item b) — derivação passo a passo.
  • Partimos da relação que o enunciado deu:
I(r)=\frac{P}{2\pi r^{2}}.
  • Isolando P:
P = I(r)\cdot 2\pi r^{2}.
  • Substituindo I(20)=10^{-2}\\ \mathrm{W/m^{2}} e r=20\\ \mathrm{m} (portanto r^{2}=400\\ \mathrm{m^{2}}):
P = 10^{-2}\cdot 2\pi \cdot 400.
  • Calculemos passo a passo:
2\pi\cdot 400 = 800\pi,
10^{-2}\cdot 800\pi = 8\pi.
  • Portanto a potência total é
P = 8\pi\\ \mathrm{W}\approx 25{,}13\\ \mathrm{W}.
Comentário físico: isso significa que o alto-falante está irradiando cerca de 25\\ \mathrm{W} de potência acústica para o hemisfério frontal (valor grande, mas típico de shows altos).

Passo 4

Distância para L=120\\ \mathrm{dB} (item c) — passo a passo.
  • Primeiro convertemos L=120\\ \mathrm{dB} em intensidade I_{\text{target}} usando a fórmula inversa:
I_{\text{target}} = I_{0}\cdot 10^{L/10}.
  • Substituindo L=120\\ \mathrm{dB} e I_{0}=10^{-12}\\ \mathrm{W/m^{2}}:
I_{\text{target}} = 10^{-12}\cdot 10^{120/10}=10^{-12}\cdot 10^{12}=1\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Agora usamos I(r)=P/(2\pi r^{2}) e resolvemos para r:
r=\sqrt{\frac{P}{2\pi I}}.
  • Substituindo P=8\pi\\ \mathrm{W} (do passo anterior) e I=1\\ \mathrm{W/m^{2}}:
r=\sqrt{\frac{8\pi}{2\pi\cdot 1}}=\sqrt{\frac{8\pi}{2\pi}}=\sqrt{4}=2\\ \mathrm{m}.
Verificação de sentido: faz sentido que o nível de som seja muito maior mais perto; a 2\\ \mathrm{m} do alto-falante temos 120\\ \mathrm{dB}.

Passo 5

Nível de intensidade a 30\\ \mathrm{m} (item d) — dois jeitos, ambos mostrados para fixar a ideia.
Método 1 — usar diretamente I=\dfrac{P}{2\pi r^{2}} e depois a fórmula de dB.
  • Primeiro intensidade a 30\\ \mathrm{m}:
I(30)=\frac{P}{2\pi\cdot 30^{2}}=\frac{8\pi}{2\pi\cdot 900}=\frac{8}{1800}=\frac{4}{900}\approx 0{,}004444\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Agora o nível:
L(30)=10\log_{10}\!\left(\frac{I(30)}{I_{0}}\right)=10\log_{10}\!\left(\frac{4{,}444\times 10^{-3}}{10^{-12}}\right) =10\log_{10}\!\left(4{,}444\times 10^{9}\right).
  • Calculemos o logaritmo aproximado: \log_{10}(4{,}444)\approx 0{,}6478, então
\log_{10}\!\left(4{,}444\times 10^{9}\right)=9+0{,}6478=9{,}6478,
L(30)=10\cdot 9{,}6478\approx 96{,}48\\ \mathrm{dB}.
Método 2 — usar diferença de nível por fator de distância (mais rápido na prova).
  • Como I\propto 1/r^{2}, o nível satisfaz
L(r_{2})=L(r_{1})-20\log_{10}\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right).
  • Com r_{1}=20\\ \mathrm{m} e r_{2}=30\\ \mathrm{m}, L(20)=100\\ \mathrm{dB}:
L(30)=100-20\log_{10}\!\left(\frac{30}{20}\right)=100-20\log_{10}(1{,}5).
  • \log_{10}(1{,}5)\approx 0{,}176091, então
L(30)\approx 100-20\cdot 0{,}176091\approx 100-3{,}5218\approx 96{,}48\\ \mathrm{dB},
igual ao método 1 — ótimo para checar contas.

Resposta

(a) 100\\ \mathrm{dB}
(b) P=8\pi\\ \mathrm{W}\approx 25{,}13\\ \mathrm{W}
(c) 2\\ \mathrm{m}
(d) 96{,}48\\ \mathrm{dB}