Q7) A altura crítica h de um vertedouro é dada implicitamente por:
h=\left(\frac{Q^{2}}{g B^{2}}\right)^{1 / 3}(1+0.4 h)
com:
Q=14 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, \quad B=3.2 \mathrm{~m}, \quad g=9.81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
  • Escreva a equação na forma de ponto fixo.
  • Analise a convergência do método.
  • Determine h numericamente.
  • Programe o método em MATLAB.

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita para a altura crítica h e os valores dos parâmetros. O que é pedido:
  • Reescrever a equação na forma de ponto fixo.
  • Analisar a convergência do método de iteração de ponto fixo.
  • Determinar numericamente h.
  • Programar o método em MATLAB.
Informações fornecidas:
Q=14\\ \mathrm{m^3/s},\qquad B=3{,}2\\ \mathrm{m},\qquad g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},
e a relação implícita
h=\left(\frac{Q^{2}}{g B^{2}}\right)^{1/3}(1+0.4 h).

Passo 2

Colocar a equação na forma de ponto fixo significa escrevê‑la como
h = g(h)
com g explícito. Defino a constante
A \equiv \left(\frac{Q^{2}}{g B^{2}}\right)^{1/3}.
Assim a forma de ponto fixo é
\boxed{\,h = g(h) = A\,(1+0.4\,h)\,}
(escrevi a forma genérica e a dependência explícita de h em g(h)).
Observação algébrica útil: como a incógnita aparece linear no lado direito, pode-se também isolar h explicitamente (quando 1-0.4A\neq0):
\boxed{\,h = \dfrac{A}{1-0.4A}\,}
esta é a solução fechada (se 1-0.4A\neq0) — vamos calcular A e usar ambos (iteração e fórmula fechada) para confirmar.

Passo 3

Explicando didaticamente o método de ponto fixo e a condição de convergência (passo a passo, sem pular etapas):
  1. Ideia do método: escolhe‑se uma função g tal que h=g(h). Para aproximar a solução, aplica‑se a iteração
\text{(iteração)}\qquad h_{n+1}=g(h_n).çã
Se a sequência (h_n) converge a algum ponto h^\star, então h^\star=g(h^\star), ou seja, é uma solução.
  1. Critério de convergência local (teorema do ponto fixo / contração): se existe um intervalo I contendo a solução tal que g é contínua em I e existe 0\le k<1 com
|g'(x)|\le k\quad\text{para todo }x\in I,
então g é uma contração em I e a iteração converge a um único ponto fixo para qualquer h_0\in I. Além disso, a convergência é (pelo menos) linear e o erro satisfaz
|h_{n}-h^\star|\le \frac{k^{n}}{1-k}\,|h_1-h_0|.
  1. Aplicação ao nosso g:
g(h) = A(1+0.4h).
Derivando:
g'(h)=0.4 A.
Aqui a derivada é constante (não depende de h). Assim a constante de contração possível é k=|0.4A|.
  1. Calcular numericamenete A usando os dados do enunciado:
\frac{Q^{2}}{g B^{2}}=\frac{14^{2}}{9{,}81\times(3{,}2)^{2}} =\frac{196}{9{,}81\times 10{,}24} =\frac{196}{100{,}4544}\approx 1{,}951134.
Logo
A = \left(1{,}951134\right)^{1/3}\approx 1{,}249575213.
Portanto
g'(h)=0.4A\approx 0.4\times 1{,}249575213 \approx 0{,}4998300852.
  1. Conclusão sobre convergência: como
|g'(h)|\approx 0{,}49983 < 1,
a função g é uma contração local (na verdade global aqui, porque g' é constante). Logo a iteração de ponto fixo converge para a solução única a partir de qualquer h_0. A razão de contração é cerca de k\approx 0{,}5; isso implica convergência linear com cada iteração reduzindo o erro aproximadamente pela metade.

Passo 4

Determinar h numericamente — usando a solução fechada (cálculo passo a passo) e confirmar pela iteração:
  1. Solução fechada (recapitulando):
h=\frac{A}{1-0.4A}.
Substituindo A\approx 1{,}249575213:
1-0.4A \approx 1-0.4998300852 \approx 0{,}5001699148.
Então
h \approx \frac{1{,}249575213}{0{,}5001699148}\approx 2{,}498301427\\ \mathrm{m}.
  1. Confirmação pela iteração de ponto fixo (mostro algumas iterações para ver a convergência; escolho h_0=0 para simplicidade):
h_{n+1}=A(1+0.4h_n),\qquad A=1{,}249575213.
Cálculos (arredondados a 9 casas decimais nas iterações mostradas):
  • h_0=0.
  • h_1=A(1+0)=1{,}249575213.
  • h_2=A(1+0.4h_1)\approx 1{,}874150744.
  • h_3\approx 2{,}186332146.
  • h_4\approx 2{,}342370044.
  • h_5\approx 2{,}420386061.
  • h_6\approx 2{,}459397301.
  • h_7\approx 2{,}479453647.
  • h_8\approx 2{,}489840341.
  • h_9\approx 2{,}495778322.
  • h_{10}\approx 2{,}498302840.
Vê‑se que a sequência tende rapidamente para 2{,}4983. Os valores residuais caem aproximadamente por um fator k\approx 0{,}5 a cada iteração, compatível com a análise.

Passo 5

Observações práticas e controle de erro (útil na prova):
  • Como g'(h)=0.4A\approx 0{,}49983, a convergência é garantida e linear; para uma tolerância \mathrm{tol} no erro, o número de iterações N necessário satisfaz intimamente k^N \lesssim \mathrm{tol} (mais precisamente, usar a desigualdade do passo 3 para estimar N).
  • A solução exata (fechada) existe porque 1-0.4A\neq 0. Quando a equação do enunciado permite isolar h linearmente, prefira a solução fechada (mais rápida e exata). A iteração serve para confirmar ou quando não for possível isolar.

Passo 6

Código MATLAB para implementar a iteração de ponto fixo (comentado e pronto para rodar). O código calcula A, executa a iteração até convergir e imprime o resultado; também mostra a solução fechada para comparação.
% arquivo: iter_ponto_fixo_vertedouro.m
% Iteracao de ponto fixo para h = A*(1 + 0.4*h)

% dados
Q = 14;      % m^3/s
B = 3.2;     % m
g = 9.81;    % m/s^2

% constante A
A = (Q^2/(g*B^2))^(1/3);

% parametro de iteracao
h0 = 0;            % chute inicial
tol = 1e-8;        % tolerancia
maxit = 1000;      % iteracoes maximas

% iteração
h_old = h0;
for iter = 1:maxit
    h_new = A*(1 + 0.4*h_old);        % h_{n+1} = g(h_n)
    if abs(h_new - h_old) < tol
        break
    end
    h_old = h_new;
end

% solução pela iteração
h_iter = h_new;

% solução fechada (quando possivel)
if abs(1 - 0.4*A) > eps
    h_closed = A/(1 - 0.4*A);
else
    h_closed = NaN;
end

% mostrar resultados
fprintf('A = %.12f\n', A);
fprintf('Iteracoes = %d\n', iter);
fprintf('h (iterativa) = %.12f m\n', h_iter);
fprintf('h (fechada)    = %.12f m\n', h_closed);

Resposta

h = g(h) = \displaystyle\left(\frac{Q^{2}}{g B^{2}}\right)^{1/3}(1+0.4\,h)
Convergência: g'(h)=0.4A com A\approx 1{,}249575213 logo |g'(h)|\approx 0{,}49983<1, portanto a iteração converge (contração, razão ≈ 0{,}5).
h \approx 2{,}498301427\\ \mathrm{m}.

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