Um aluno de Cálculo Diferencial e Integral I apresentou a seguinte resolução para a inequação
:
Avalie a resolução verificando se está correta. Caso não esteja correta, justifique o porquê não está correta e apresente a solução correta.
Passo 1
Vou explicar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos. O problema é verificar a resolução dada por um aluno para a inequação
O aluno fez os passos (resumidos):
- multiplicou ambos os lados por
sem verificar o sinal dessa expressão; - obteve
, que virou ; - calculou o discriminante
e concluiu que para todo , então concluiu que a inequação vale para todo .
O que se pede: avaliar se essa resolução está correta; se não estiver, justificar o erro e apresentar a solução correta da inequação.
Passo 2
Identificar o principal erro conceitual do aluno (regra importante). Regra: ao multiplicar uma desigualdade por uma expressão que depende de
é obrigatório considerar o sinal dessa expressão:
- se multiplicar por uma quantidade positiva, a desigualdade mantém o sentido;
- se multiplicar por uma quantidade negativa, o sentido da desigualdade se inverte;
- se a quantidade puder ser zero, deve-se verificar que ponto separadamente (e lembrar que se for denominador, esse
é proibido).
No caso, a expressão multiplicadora é
, que muda de sinal em
e é zero em
. Portanto não se pode simplesmente multiplicar por
sem dividir o estudo em casos ou sem passar tudo para um único membro com denominador comum. O aluno ignorou essa necessidade e por isso a conclusão “toda a reta” pode estar errada.
Passo 3
Resolver corretamente transformando tudo para um único membro (método seguro, sem multiplicar sem cuidado). Começo subtraindo
dos dois lados:
Coloco em denominador comum
:
Agora desenvolvo o numerador passo a passo:
Logo a desigualdade fica
Posso colocar um sinal negativo em evidência no numerador:
Passo 4
Analisar o sinal do numerador
. Calculo o discriminante:
Como o coeficiente líder de
é
e
, a parábola não tem raízes reais e é positiva para todo
:
Portanto o numerador original
é sempre negativo:
Observe também que
torna o denominador zero, então
não faz parte do domínio da expressão original e deve ser excluído.
Passo 5
Fazer a análise de sinais da fração
. Temos:
- numerador: sempre negativo (nunca zero);
- denominador: positivo quando
, negativo quando , e indefinido em .
Logo a fração toma:
- para
: número negativo (aqui a desigualdade é satisfeita; não há igualdade exata porque o numerador nunca é zero); - para
: número positivo (aqui a desigualdade não é satisfeita); - em
: expressão indefinida (não está no domínio).
Portanto a solução da inequação é o conjunto dos
tais que
, ou seja
.
Passo 6
Mostrar de forma alternativa (casos) como se evitou o erro do aluno: dividir em dois casos conforme o sinal de
.
Caso A:
(ou seja
). Multiplica-se por
sem inverter o sinal:
Como
para todo
, essa desigualdade é verdadeira para todo
. Logo todo
satisfaz a inequação.
Caso B:
(ou seja
). Ao multiplicar por
negativo o sinal inverte:
o que é impossível porque
para todo
. Portanto não há soluções com
.
E
é proibido. Resultado: novamente
.
Passo 7
Comentário final sobre o erro do aluno e checagem numérica rápida. O erro do aluno foi não considerar o sinal de
ao multiplicar por ela; implicitamente ele assumiu que
para todos
, o que é falso. Para checar, testar pontos:
-
: (verdadeiro). -
: (falso).
Esses testes confirmam a solução.