Um aluno de Cálculo Diferencial e Integral I apresentou a seguinte resolução para a inequação \frac{x-1}{x+2} \leq x :
\begin{aligned} & \frac{x-1}{x+2} \leq x \quad \times(x+2) \\\ & x-1 \leq x(x+2) \\\ & x-1 \leq x^{2}+2 x \\\ & x^{2}+x+1 \geqslant 0 \quad \Delta \quad \Delta=1-4 \cdot 1 \cdot(+1)=-3<0 \\\ & 5=10 \text { pois a funcão é positiva } \forall x \in \mathbb{R} \end{aligned}ãé
Avalie a resolução verificando se está correta. Caso não esteja correta, justifique o porquê não está correta e apresente a solução correta.

Passo 1

Vou explicar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos. O problema é verificar a resolução dada por um aluno para a inequação
\frac{x-1}{x+2} \leq x.
O aluno fez os passos (resumidos):
  • multiplicou ambos os lados por x+2 sem verificar o sinal dessa expressão;
  • obteve x-1 \le x(x+2), que virou x^{2}+x+1 \ge 0;
  • calculou o discriminante \Delta=1-4\cdot1\cdot1=-3<0 e concluiu que x^{2}+x+1>0 para todo x, então concluiu que a inequação vale para todo \mathbb{R}.
O que se pede: avaliar se essa resolução está correta; se não estiver, justificar o erro e apresentar a solução correta da inequação.

Passo 2

Identificar o principal erro conceitual do aluno (regra importante). Regra: ao multiplicar uma desigualdade por uma expressão que depende de x é obrigatório considerar o sinal dessa expressão:
  • se multiplicar por uma quantidade positiva, a desigualdade mantém o sentido;
  • se multiplicar por uma quantidade negativa, o sentido da desigualdade se inverte;
  • se a quantidade puder ser zero, deve-se verificar que ponto separadamente (e lembrar que se for denominador, esse x é proibido).
No caso, a expressão multiplicadora é x+2, que muda de sinal em x=-2 e é zero em x=-2. Portanto não se pode simplesmente multiplicar por x+2 sem dividir o estudo em casos ou sem passar tudo para um único membro com denominador comum. O aluno ignorou essa necessidade e por isso a conclusão “toda a reta” pode estar errada.

Passo 3

Resolver corretamente transformando tudo para um único membro (método seguro, sem multiplicar sem cuidado). Começo subtraindo x dos dois lados:
\frac{x-1}{x+2}-x \le 0.
Coloco em denominador comum (x+2):
\frac{x-1 - x(x+2)}{x+2} \le 0.
Agora desenvolvo o numerador passo a passo:
x-1 - x(x+2) = x-1 - (x^2+2x) = x-1 - x^2 -2x = -x^2 - x -1.
Logo a desigualdade fica
\frac{-x^2 - x -1}{x+2} \le 0.
Posso colocar um sinal negativo em evidência no numerador:
\frac{-(x^2 + x +1)}{x+2} \le 0.

Passo 4

Analisar o sinal do numerador x^2+x+1. Calculo o discriminante:
\Delta = 1-4\cdot1\cdot1 = -3 < 0.
Como o coeficiente líder de x^2+x+1 é 1>0 e \Delta<0, a parábola não tem raízes reais e é positiva para todo x:
x^2+x+1>0\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Portanto o numerador original -(x^2+x+1) é sempre negativo:
-(x^2+x+1) < 0\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Observe também que x=-2 torna o denominador zero, então x=-2 não faz parte do domínio da expressão original e deve ser excluído.

Passo 5

Fazer a análise de sinais da fração \dfrac{-(x^2+x+1)}{x+2}. Temos:
  • numerador: sempre negativo (nunca zero);
  • denominador: positivo quando x>-2, negativo quando x<-2, e indefinido em x=-2.
Logo a fração toma:
  • para x>-2: \dfrac{\text{negativo}}{\text{positivo}}= número negativo \le 0 (aqui a desigualdade é satisfeita; não há igualdade exata porque o numerador nunca é zero);
  • para x<-2: \dfrac{\text{negativo}}{\text{negativo}}= número positivo >0 (aqui a desigualdade não é satisfeita);
  • em x=-2: expressão indefinida (não está no domínio).
Portanto a solução da inequação é o conjunto dos x tais que x>-2, ou seja (-2,+\infty).

Passo 6

Mostrar de forma alternativa (casos) como se evitou o erro do aluno: dividir em dois casos conforme o sinal de x+2.
Caso A: x+2>0 (ou seja x>-2). Multiplica-se por x+2>0 sem inverter o sinal:
x-1 \le x(x+2) \iff 0 \le x^2+x+1.
Como x^2+x+1>0 para todo x, essa desigualdade é verdadeira para todo x>-2. Logo todo x>-2 satisfaz a inequação.
Caso B: x+2<0 (ou seja x<-2). Ao multiplicar por x+2 negativo o sinal inverte:
x-1 \ge x(x+2) \iff 0 \ge x^2+x+1,
o que é impossível porque x^2+x+1>0 para todo x. Portanto não há soluções com x<-2.
E x=-2 é proibido. Resultado: novamente (-2,+\infty).

Passo 7

Comentário final sobre o erro do aluno e checagem numérica rápida. O erro do aluno foi não considerar o sinal de x+2 ao multiplicar por ela; implicitamente ele assumiu que x+2>0 para todos x, o que é falso. Para checar, testar pontos:
  • x=0: \dfrac{0-1}{0+2}=-\tfrac{1}{2}\le 0 (verdadeiro).
  • x=-3: \dfrac{-4}{-1}=4\le -3 (falso).
    Esses testes confirmam a solução (-2,+\infty).

Resposta

(-2,+\infty)