(CN) Um aluno, efétuando a divisão de 13 por 41, foi determinando o quociente até que a soma de todos os algarismos por ele escrito, na parte decimal, foi imediatamente maior ou igual a 530 . Quantas casas decimais escreveu?
a) 144
b) 145
c) 146
d) 147

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado pede e quais dados há:
  • O aluno divide 13 por 41 e vai escrevendo os algarismos da parte decimal, um a um, conforme o processo da divisão.
  • Ele pára no momento em que a soma de todos os algarismos que escreveu na parte decimal fica imediatamente maior ou igual a 530.
  • Pergunta: quantas casas decimais ele escreveu? (Opções: 144,\;145,\;146,\;147.)

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): ao fazer a divisão decimal de uma fração \dfrac{a}{b} com \gcd(b,10)=1, os algarismos decimais resultam de um processo de restos: a cada passo multiplica-se o resto por 10, divide-se por b para obter o próximo dígito e obtém-se um novo resto. Como b é coprimo com 10, este processo é periódico; existe um período finito de restos e, portanto, um período finito de dígitos que se repetem. O comprimento do período é o menor k tal que 10^k\equiv 1\pmod b (a ordem multiplicativa de 10 módulo b). Essa é uma forma prática de prever a repetição sem fazer infinitas divisões.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso b=41: vamos achar o menor k com 10^k\equiv 1\pmod{41}. Calculemos potências de 10 módulo 41:
  • 10^1\equiv 10\pmod{41}.
  • 10^2\equiv 100\equiv 18\pmod{41} (porque 100-2\cdot41=18).
  • 10^3\equiv 18\cdot10\equiv 180\equiv 16\pmod{41} (porque 180-4\cdot41=180-164=16).
  • 10^4\equiv 16\cdot10\equiv 160\equiv 37\pmod{41} (porque 160-3\cdot41=160-123=37).
  • 10^5\equiv 37\cdot10\equiv 370\equiv 1\pmod{41} (porque 370-9\cdot41=370-369=1).
Logo o menor k com 10^k\equiv1 é k=5. Assim o período decimal de \dfrac{13}{41} tem comprimento 5: os dígitos na parte decimal repetem a cada 5 casas.

Passo 4

Agora vamos obter explicitamente os dígitos do período fazendo a divisão passo a passo (processo dos restos). Começamos com o resto inicial r_0=13 (pois dividimos 13 por 41).
Fazendo cada passo: multiplica-se o resto por 10, divide-se por 41 para obter o dígito e o novo resto.
  • r_0=13. 13\cdot10=130. 130\div41=3 com resto 130-3\cdot41=130-123=7. Primeiro dígito: 3.
  • r_1=7. 7\cdot10=70. 70\div41=1 com resto 70-1\cdot41=29. Segundo dígito: 1.
  • r_2=29. 29\cdot10=290. 290\div41=7 com resto 290-7\cdot41=290-287=3. Terceiro dígito: 7.
  • r_3=3. 3\cdot10=30. 30\div41=0 com resto 30. Quarto dígito: 0.
  • r_4=30. 30\cdot10=300. 300\div41=7 com resto 300-7\cdot41=300-287=13. Quinto dígito: 7.
Agora o resto voltou a 13, portanto os dígitos voltam a repetir. A sequência periódica dos dígitos decimais é
3,\;1,\;7,\;0,\;7
repetindo-se ciclicamente.

Passo 5

Calcule a soma dos dígitos de um período de 5 dígitos:
3+1+7+0+7=18.
Portanto, a cada bloco de 5 casas decimais escritas, a soma desses 5 dígitos aumenta em 18.

Passo 6

Estratégia para chegar a 530: seja n o número de casas decimais escritas. Escrevemos n=5q+r com q número de períodos completos e r\in\{0,1,2,3,4\} casas extras do período seguinte. A soma total dos dígitos será
S = 18q + s_r,
onde s_r é a soma dos primeiros r dígitos do período 3,1,7,0,7. As somas parciais dos primeiros r dígitos são:
  • r=0: s_0=0.
  • r=1: s_1=3.
  • r=2: s_2=3+1=4.
  • r=3: s_3=3+1+7=11.
  • r=4: s_4=11+0=11.
Queremos o menor n tal que S\ge 530.

Passo 7

Calculemos quantos períodos completos cabem antes de ultrapassar 530. Dividimos:
\frac{530}{18}\approx 29{,}44\ldots
Logo o maior q inteiro com 18q<530 é q=29, porque 18\cdot29=522 e 18\cdot30=540>530. Então após 29 períodos completos (cada período tem 5 dígitos) o número de casas escritas é
5\cdot29=145
e a soma acumulada é 522.

Passo 8

Agora acrescentamos dígitos do próximo período na ordem 3,1,7,0,7 e verificamos quando a soma atinge pelo menos 530:
  • Após 1 dígito extra: soma 522+3=525 (ainda < 530).
  • Após 2 dígitos extras: soma 525+1=526 (ainda < 530).
  • Após 3 dígitos extras: soma 526+7=533 (agora \ge 530).
Portanto precisamos de 3 dígitos além dos 145 já escritos, isto é um total de
145+3=148
casas decimais para que a soma fique imediatamente maior ou igual a 530.

Resposta

148