(CN) Um aluno, efétuando a divisão de 13 por 41, foi determinando o quociente até que a soma de todos os algarismos por ele escrito, na parte decimal, foi imediatamente maior ou igual a 530 . Quantas casas decimais escreveu?
a) 144
b) 145
c) 146
d) 147
a) 144
b) 145
c) 146
d) 147
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado pede e quais dados há:
- O aluno divide
por e vai escrevendo os algarismos da parte decimal, um a um, conforme o processo da divisão. - Ele pára no momento em que a soma de todos os algarismos que escreveu na parte decimal fica imediatamente maior ou igual a
. - Pergunta: quantas casas decimais ele escreveu? (Opções:
.)
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): ao fazer a divisão decimal de uma fração
com
, os algarismos decimais resultam de um processo de restos: a cada passo multiplica-se o resto por
, divide-se por
para obter o próximo dígito e obtém-se um novo resto. Como
é coprimo com
, este processo é periódico; existe um período finito de restos e, portanto, um período finito de dígitos que se repetem. O comprimento do período é o menor
tal que
(a ordem multiplicativa de
módulo
). Essa é uma forma prática de prever a repetição sem fazer infinitas divisões.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso
: vamos achar o menor
com
. Calculemos potências de
módulo
:
-
. -
(porque ). -
(porque ). -
(porque ). -
(porque ).
Logo o menor
com
é
. Assim o período decimal de
tem comprimento
: os dígitos na parte decimal repetem a cada
casas.
Passo 4
Agora vamos obter explicitamente os dígitos do período fazendo a divisão passo a passo (processo dos restos). Começamos com o resto inicial
(pois dividimos
por
).
Fazendo cada passo: multiplica-se o resto por
, divide-se por
para obter o dígito e o novo resto.
-
. . com resto . Primeiro dígito: . -
. . com resto . Segundo dígito: . -
. . com resto . Terceiro dígito: . -
. . com resto . Quarto dígito: . -
. . com resto . Quinto dígito: .
Agora o resto voltou a
, portanto os dígitos voltam a repetir. A sequência periódica dos dígitos decimais é
repetindo-se ciclicamente.
Passo 5
Calcule a soma dos dígitos de um período de
dígitos:
Portanto, a cada bloco de
casas decimais escritas, a soma desses
dígitos aumenta em
.
Passo 6
Estratégia para chegar a
: seja
o número de casas decimais escritas. Escrevemos
com
número de períodos completos e
casas extras do período seguinte. A soma total dos dígitos será
onde
é a soma dos primeiros
dígitos do período
. As somas parciais dos primeiros
dígitos são:
-
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Queremos o menor
tal que
.
Passo 7
Calculemos quantos períodos completos cabem antes de ultrapassar
. Dividimos:
Logo o maior
inteiro com
é
, porque
e
. Então após
períodos completos (cada período tem
dígitos) o número de casas escritas é
e a soma acumulada é
.
Passo 8
Agora acrescentamos dígitos do próximo período na ordem
e verificamos quando a soma atinge pelo menos
:
- Após 1 dígito extra: soma
(ainda < ). - Após 2 dígitos extras: soma
(ainda < ). - Após 3 dígitos extras: soma
(agora ).
Portanto precisamos de
dígitos além dos
já escritos, isto é um total de
casas decimais para que a soma fique imediatamente maior ou igual a
.