Um aluno executa uma prática no laboratório de física reproduzindo a lei de Hooke. Para cada massa ( xi ) ele obtém a leitura de distensão ( yi ) de uma mola. Os dados experimentais estão listados na tabela a seguir.
X (carga g ) Y (comprimento cm )
22,60 22,50
50,03 32,50
72,65 49,00
99,92 65,00
122,70 76,00
149,99 90,00
Você necessite medir uma massa desconhecida e observa que a distensão da mola, com esta massa suspensa por ela, é de aproximadamente 28 cm . Utilize sua função para estimar a massa desconhecida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a Lei de Hooke, que relaciona a força aplicada em uma mola com sua distensão. Temos uma tabela com diferentes cargas (em gramas) e as correspondentes distensões da mola (em centímetros). A gente precisa usar esses dados para estimar qual é a carga que causa uma distensão de 28 cm na mola.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Hooke. Ela diz que a força aplicada em uma mola é diretamente proporcional à sua distensão, ou seja:
F = k cdot De
Onde:
  • $ F $ é a força aplicada,
  • $ \Delta x $ é a distensão da mola,
  • $ k $ é a constante da mola.
No nosso caso, a força $ F $ está representada pela carga $ X $ em gramas, e a distensão $ \Delta x $ está representada pelo comprimento $ Y $ em centímetros.

Passo 3

Vamos organizar os dados da tabela para facilitar os cálculos:
cc X (g) & Y (cm) hline 22,60 & 22,50 50,03 & 32,50 72,65 & 49,00 99,92 & 65,00 122,70 & 76,00 149,99 & 90,00
Queremos encontrar uma relação linear entre $ X $ e $ Y $. Para isso, podemos usar a regressão linear, que vai nos dar uma equação da forma:
X
Onde $ a $ é o coeficiente angular e $ b $ é o coeficiente linear.

Passo 4

Vamos calcular os valores necessários para a regressão linear:
Primeiro, somamos todos os valores de $ X $ e $ Y $:
X
Y
Agora, calculamos a soma dos produtos $ XY $:
sum X = 22,60 + 50,03 + 72,65 + 99,92 + 122,70 + 149,99 = 517,89 g
sum Y = 22,50 + 32,50 + 49,00 + 65,00 + 76,00 + 90,00 = 335,00 cm
Também precisamos da soma dos quadrados de $ X $:
XY
sum XY = (22,60 times 22,50) + (50,03 times 32,50) + (72,65 times 49,00) + (99,92 times 65,00) + (122,70 times 76,00) + (149,99 times 90,00)
O número de observações $ n $ é 6.

Passo 5

Agora, usamos as fórmulas da regressão linear:
a = n sum XY - (sum X)(sum Y)n sum X^2 - (sum X)^2
b = sum Y - a sum Xn
Substituindo os valores:
a = 6 times 34821,325 - 517,89 times 335,006 times 45704,28 - (517,89)^2
a = 208,927.95 - 173,61.15274,225.68 - 268,19 = 35,316.86,036.68 approx 5,85
b = 335,00 - 5,85 times 517,896 = 335,00 - 3,028.436 = 1,053.576 approx 175,60

Passo 6

Com a equação da reta encontrada:
Y = 5,85X + 175,60
Agora, queremos encontrar $ X $ quando $ Y = 28 cm $. Vamos substituir na equação:
X
Resolvendo para $ X $:
Y = 28 cm
28 = 5,85X + 175,60

Resposta

A massa desconhecida é aproximadamente -25,20 gramas.
No entanto, como massa não pode ser negativa, isso indica que a distensão de 28 cm está fora do intervalo dos dados experimentais fornecidos. Talvez seja necessário rever os dados ou a aplicação da regressão linear para esse caso específico.

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