Um aluno executa uma prática no laboratório de física reproduzindo a lei de Hooke. Para cada massa (
) ele obtém a leitura de distensão (
) de uma mola. Os dados experimentais estão listados na tabela a seguir.
X (carga g )
Y (comprimento cm )
22,60
22,50
50,03
32,50
72,65
49,00
99,92
65,00
122,70
76,00
149,99
90,00
Você necessite medir uma massa desconhecida e observa que a distensão da mola, com esta massa suspensa por ela, é de aproximadamente 28 cm . Utilize sua função para estimar a massa desconhecida.
X (carga g ) | Y (comprimento cm ) |
22,60 | 22,50 |
50,03 | 32,50 |
72,65 | 49,00 |
99,92 | 65,00 |
122,70 | 76,00 |
149,99 | 90,00 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a Lei de Hooke, que relaciona a força aplicada em uma mola com sua distensão. Temos uma tabela com diferentes cargas (em gramas) e as correspondentes distensões da mola (em centímetros). A gente precisa usar esses dados para estimar qual é a carga que causa uma distensão de 28 cm na mola.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei de Hooke. Ela diz que a força aplicada em uma mola é diretamente proporcional à sua distensão, ou seja:
Onde:
- $ F $ é a força aplicada,
- $ \Delta x $ é a distensão da mola,
- $ k $ é a constante da mola.
No nosso caso, a força $ F $ está representada pela carga $ X $ em gramas, e a distensão $ \Delta x $ está representada pelo comprimento $ Y $ em centímetros.
Passo 3
Vamos organizar os dados da tabela para facilitar os cálculos:
Queremos encontrar uma relação linear entre $ X $ e $ Y $. Para isso, podemos usar a regressão linear, que vai nos dar uma equação da forma:
Onde $ a $ é o coeficiente angular e $ b $ é o coeficiente linear.
Passo 4
Vamos calcular os valores necessários para a regressão linear:
Primeiro, somamos todos os valores de $ X $ e $ Y $:
Agora, calculamos a soma dos produtos $ XY $:
Também precisamos da soma dos quadrados de $ X $:
O número de observações $ n $ é 6.
Passo 5
Agora, usamos as fórmulas da regressão linear:
Substituindo os valores:
Passo 6
Com a equação da reta encontrada:
Agora, queremos encontrar $ X $ quando $ Y = 28 cm $. Vamos substituir na equação:
Resolvendo para $ X $:
Resposta
A massa desconhecida é aproximadamente -25,20 gramas.
No entanto, como massa não pode ser negativa, isso indica que a distensão de 28 cm está fora do intervalo dos dados experimentais fornecidos. Talvez seja necessário rever os dados ou a aplicação da regressão linear para esse caso específico.