Aluno(a): Nicole C. de Poula
OBS. Todos os cálculos devem estar detalhados na resolução da prova. Questōes que constem apenas os resultados finais serão consideradas erradas. Utilize as distribuiçōes de probabilỉđades adequadas nas questőes.
A empresa MaqCort revende máquinas de cortar cabelo da marca KL. A empresa comprou 20000 máquinas. Sabe-se que a duração média das máquinas é de 36 meses e variância de 9 meses, com distribuição normal. Qual a probabilidade da máquina, selecionada aleatoriamente, durar entre 37 e 39 meses?
OBS. Todos os cálculos devem estar detalhados na resolução da prova. Questōes que constem apenas os resultados finais serão consideradas erradas. Utilize as distribuiçōes de probabilỉđades adequadas nas questőes.
A empresa MaqCort revende máquinas de cortar cabelo da marca KL. A empresa comprou 20000 máquinas. Sabe-se que a duração média das máquinas é de 36 meses e variância de 9 meses, com distribuição normal. Qual a probabilidade da máquina, selecionada aleatoriamente, durar entre 37 e 39 meses?
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício da Nicole! A gente tem uma empresa que comprou 20.000 máquinas de cortar cabelo. A duração média dessas máquinas é de 36 meses, com uma variância de 9 meses, e a distribuição é normal. A pergunta é: qual a probabilidade de uma máquina escolhida aleatoriamente durar entre 37 e 39 meses?
Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de Probabilidade e Distribuições Normais. Precisamos entender como funciona a distribuição normal e como calcular a probabilidade dentro de um intervalo específico usando a média e o desvio padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição normal. A média (μ) é 36 meses e a variância (σ²) é 9 meses. Para trabalharmos mais fácil, precisamos do desvio padrão (σ), que é a raiz quadrada da variância.
Então, temos:
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade de uma máquina durar entre 37 e 39 meses, ou seja, $ P(37 \leq X \leq 39) $.
Para isso, vamos padronizar esses valores usando a fórmula do z-score, que nos ajuda a converter valores da distribuição normal para a distribuição normal padrão (com média 0 e desvio padrão 1).
A fórmula do z-score é:
Passo 4
Vamos calcular o z-score para X = 37 meses:
E para X = 39 meses:
Então, queremos encontrar $ P(0,333 \leq Z \leq 1) $
Passo 5
Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes aos z-scores calculados.
Vamos encontrar:
Usando a tabela ou calculadora:
Passo 6
Para achar a probabilidade entre 37 e 39 meses, subtraímos a menor probabilidade da maior:
Resposta
A probabilidade de uma máquina durar entre 37 e 39 meses é de aproximadamente 21,09%.