O amoníaco, ou amônia, é um composto químico constituído por um átomo de nitrogênio e por três átomos de hidrogênio. É usado na fabricação de fertilizantes para culturas agrícolas, gramas e plantas, entre outros. A constante de equilíbrio (K) para a sua síntese é igual 6,8 \times 10^{5} a 298 K , segundo a reação:
\mathrm{N}_{2}(\mathrm{~g})+3 \mathrm{H}_{2}(\mathrm{~g}) \rightarrow 2 \mathrm{NH}_{3}(\mathrm{~g})
Sabendo que as constantes de equilíbrio se relacionam com a temperatura, conforme a equação abaixo, e que as entalpias de padrão de formação de reagentes e produtos a 298 K são iguais a tabela apresentada:
\ln \frac{k_{2}}{k_{1}}=\frac{\Delta H_{r}^{\circ}}{R}\left(\frac{1}{T_{1}}-\frac{1}{T_{2}}\right)
Composto \Delta \boldsymbol{H}_{\boldsymbol{f}}^{\circ}\left(\boldsymbol{K} \boldsymbol{J ~ m o l}^{-\mathbf{1}}\right)
\mathrm{N}_{2}(\mathrm{~g}) 0,0
\mathrm{H}_{2}(\mathrm{~g}) 0,0
\mathrm{NH}_{3}(\mathrm{~g}) -45,8
Com base nas informações dadas acima, estime qual será o valor da Constante de equilíbrio (K) a uma temperatura de 400 K .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede estimar a constante de equilíbrio K da reação a uma temperatura T_{2}=400\\ \mathrm{K}.
  • Foi dada a constante de equilíbrio a T_{1}=298\\ \mathrm{K}: K_{1}=6,8\times 10^{5}.
  • Foi dada a relação entre constantes em duas temperaturas (equação de Van’t Hoff):
\ln\frac{k_{2}}{k_{1}}=\frac{\Delta H_{r}^{\circ}}{R}\left(\frac{1}{T_{1}}-\frac{1}{T_{2}}\right)
  • Foram fornecidas as entalpias padrão de formação a 298\\ \mathrm{K}:
\Delta H_{f}^{\circ}\big(\mathrm{N}_{2}\big)=0{,}0\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}
\Delta H_{f}^{\circ}\big(\mathrm{H}_{2}\big)=0{,}0\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}
\Delta H_{f}^{\circ}\big(\mathrm{NH}_{3}\big)=-45{,}8\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}
  • Informação implícita: a constante dos gases ideais R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
  • Resumo: conhecida K_{1} em T_{1}, queremos K_{2} em T_{2}. Precisamos do \Delta H_{r}^{\circ} da reação e aplicar a fórmula dada.

Passo 2

Calcular \Delta H_{r}^{\circ} da reação a partir das entalpias de formação.
  • Regra: a entalpia padrão de reação é a soma das entalpias de formação dos produtos menos a soma das entalpias de formação dos reagentes, ponderadas pelos coeficientes estequiométricos.
  • A reação é
\mathrm{N}_{2} + 3\mathrm{H}_{2} \rightarrow 2\mathrm{NH}_{3}.
  • Portanto
\Delta H_{r}^{\circ} = 2\Delta H_{f}^{\circ}(\mathrm{NH}_{3}) - \big[1\cdot\Delta H_{f}^{\circ}(\mathrm{N}_{2}) + 3\cdot\Delta H_{f}^{\circ}(\mathrm{H}_{2})\big].

Passo 3

Substituir os valores das entalpias de formação na fórmula.
  • Usando os valores da tabela:
\Delta H_{r}^{\circ} = 2\cdot(-45{,}8\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}) - \big[1\cdot 0{,}0 + 3\cdot 0{,}0\big]\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.
  • Assim
\Delta H_{r}^{\circ} = -91{,}6\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.
Isto significa que a reação é exotérmica (libera calor).

Passo 4

Preparar unidades compatíveis para usar na equação de Van’t Hoff.
  • A equação usa R em \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}, então convertemos \Delta H_{r}^{\circ} para \mathrm{J\;mol^{-1}}:
\Delta H_{r}^{\circ} = -91{,}6\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}} = -91{,}600\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
  • Tomamos R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}, T_{1}=298\\ \mathrm{K}, T_{2}=400\\ \mathrm{K}, e K_{1}=6{,}8\times 10^{5}.

Passo 5

Calcular o fator \left(\dfrac{1}{T_{1}}-\dfrac{1}{T_{2}}\right).
  • Calculamos:
\frac{1}{T_{1}}-\frac{1}{T_{2}}=\frac{1}{298}-\frac{1}{400}.
  • Numérico:
\frac{1}{298}\approx 0{,}003355705,\qquad \frac{1}{400}=0{,}0025,
\frac{1}{298}-\frac{1}{400}\approx 0{,}000855705.

Passo 6

Aplicar a equação de Van’t Hoff para obter \ln\!\dfrac{k_{2}}{k_{1}}.
  • Substituindo:
\ln\frac{k_{2}}{k_{1}}=\frac{-91{,}600\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}}{8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}}\times 0{,}000855705.
  • Primeiro o quociente:
\frac{-91{,}600}{8{,}314}\approx -11\,018{,}9.
  • Multiplicando:
\ln\frac{k_{2}}{k_{1}}\approx -11\,018{,}9\times 0{,}000855705\approx -9{,}4314.

Passo 7

Obter a razão k_{2}/k_{1} e então k_{2}.
  • Exponenciando:
\frac{k_{2}}{k_{1}}=\exp\big(-9{,}4314\big)\approx 8{,}02\times 10^{-5}.
  • Multiplicando por K_{1}:
k_{2}=K_{1}\times \frac{k_{2}}{k_{1}} = 6{,}8\times 10^{5}\times 8{,}02\times 10^{-5}.
  • Assim
k_{2}\approx 54{,}5.

Passo 8

Interpretação rápida (checagem de sinal).
  • A reação é exotérmica ( \Delta H_{r}^{\circ}<0). Quando a temperatura aumenta, o equilíbrio desloca-se no sentido endotérmico (Lei de Le Châtelier), portanto a constante K deve diminuir com o aumento de T. Aqui K caiu de 6{,}8\times 10^{5} para cerca de 54{,}5, o que faz sentido qualitativo.

Resposta

K(400\\ \mathrm{K}) \approx 54{,}5

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