Uma amostra de 15 g de \mathrm{N}_{2} está confinada em um vaso com 220 kPa e 200 K e depois se expande
adiabaticamente contra uma pressão constante de 110 kPa . Calcule a temperatura final em cada processo.

Passo 1

O enunciado diz que uma amostra de 15 g de \mathrm{N}_2 está inicialmente em P_1=220 kPa e T_1=200 K e sofre expansão adiabática até P_2=110 kPa. Queremos a temperatura final T_2 em dois casos distintos:
  1. expansão adiabática reversível (isentrópica) até P_2;
  2. expansão adiabática irreversível contra pressão externa constante P_{\mathrm{ext}}=110 kPa.

Passo 2

Calculamos o número de mols e as capacidades térmicas do gás diatômico:
n = \frac{m}{M} = \frac{15\\ \mathrm{g}}{28\\ \mathrm{g/mol}} \approx 0,536\\ \mathrm{mol}, \gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1,4,
C_v = \frac{5}{2}R,\quad C_p = \frac{7}{2}R,\quad R = 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\,K)}.

Passo 3

Para a expansão adiabática reversível vale
P\,V^\gamma=\text{const} \quad\text{e}\quad P\,V = nRT
que levam à relação
T_2 = T_1\;\Bigl(\frac{P_2}{P_1}\Bigr)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}}.

Passo 4

Substituindo P_2=110 kPa e P_1=220 kPa,
T_2 = 200\\ \mathrm{K}\times \Bigl(\tfrac{110}{220}\Bigr)^{\frac{0,4}{1,4}} =200 \times (0,5)^{0,2857} \approx 164{,}4\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Para a expansão irreversível contra P_{\mathrm{ext}} usamos o balanço de energia adiabático Q=0:
\Delta U = W = -P_{\mathrm{ext}}\,(V_2 - V_1),
com \Delta U = n\,C_v\,(T_2-T_1), V_1 = \tfrac{nRT_1}{P_1}, V_2 = \tfrac{nRT_2}{P_{\mathrm{ext}}}.
Fazendo as substituições chega-se a
T_2 = T_1\;\Bigl[1 - \frac{\gamma-1}{\gamma}\Bigl(1 - \frac{P_{\mathrm{ext}}}{P_1}\Bigr)\Bigr].

Passo 6

Numericamente, com P_{\mathrm{ext}}/P_1=0,5 e (\gamma-1)/\gamma=0,2857,
T_2 = 200\\ \mathrm{K}\;\bigl[1 - 0,2857\,(1-0,5)\bigr] =200 \times 0,85715 \approx 171{,}4\\ \mathrm{K}.

Resposta

Para a expansão reversível adiabática: T_2 \approx 164{,}4 K.
Para a expansão irreversível adiabática contra pressão constante: T_2 \approx 171{,}4 K.

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