Numa amostra aleatória de 500 famílias que possuem computador em casa, na cidade Poderosa, foi observado que 340 famílias têm aceso à internet.
Qual será o tamanho de amostra necessário se queremos um
de confiança de que nossa estimação de
se afaste de
em menos de 0,02 (na solução não use o valor de
)?
2401
Qual será o tamanho de amostra necessário se queremos um
2401
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Estatística, mais especificamente sobre Estimativa de Proporção com Intervalo de Confiança. A gente precisa descobrir qual o tamanho da amostra necessário para ter 95% de confiança de que nossa estimativa da proporção $ p $ está correta dentro de uma margem de erro de 0,02. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de cálculo de tamanho de amostra para proporções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa “margem de erro” e o “nível de confiança”. A margem de erro (neste caso, 0,02) é o quanto nossa estimativa pode se desviar do valor verdadeiro da população. O nível de confiança (95%) indica a probabilidade de que nosso intervalo de confiança realmente contenha o valor verdadeiro de $ p $.
Passo 3
A fórmula que a gente vai usar para calcular o tamanho da amostra $ n $ é:
Onde:
- $ Z $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
- $ p $ é a proporção estimada da população.
- $ E $ é a margem de erro.
Passo 4
Vamos identificar cada termo na nossa situação:
- O nível de confiança é 95%, então $ Z $ para 95% de confiança é aproximadamente 1,96.
- A margem de erro $ E $ é 0,02.
- Como não vamos usar o $ \hat{p} $ da amostra anterior, vamos assumir o pior cenário para $ p $, que é 0,5. Isso maximiza $ p(1 - p) $ e garante que nossa amostra seja suficiente.
Passo 5
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 6
Vamos calcular passo a passo:
- Calcular $ 1,96^2 $:
- Calcular $ 0,5 \cdot (1 - 0,5) $:
- Calcular $ 0,02^2 $:
- Agora, substituir esses valores na fórmula:
Passo 7
Continuando os cálculos:
Resposta
O tamanho de amostra necessário é de 2401 famílias.