Numa amostra aleatória de 500 famílias que possuem computador em casa, na cidade Poderosa, foi observado que 340 famílias têm aceso à internet.
Qual será o tamanho de amostra necessário se queremos um 95 % de confiança de que nossa estimação de p se afaste de p em menos de 0,02 (na solução não use o valor de p )?
2401

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Estatística, mais especificamente sobre Estimativa de Proporção com Intervalo de Confiança. A gente precisa descobrir qual o tamanho da amostra necessário para ter 95% de confiança de que nossa estimativa da proporção $ p $ está correta dentro de uma margem de erro de 0,02. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de cálculo de tamanho de amostra para proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa “margem de erro” e o “nível de confiança”. A margem de erro (neste caso, 0,02) é o quanto nossa estimativa pode se desviar do valor verdadeiro da população. O nível de confiança (95%) indica a probabilidade de que nosso intervalo de confiança realmente contenha o valor verdadeiro de $ p $.

Passo 3

A fórmula que a gente vai usar para calcular o tamanho da amostra $ n $ é:
n
Onde:
  • $ Z $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
  • $ p $ é a proporção estimada da população.
  • $ E $ é a margem de erro.

Passo 4

Vamos identificar cada termo na nossa situação:
  • O nível de confiança é 95%, então $ Z $ para 95% de confiança é aproximadamente 1,96.
  • A margem de erro $ E $ é 0,02.
  • Como não vamos usar o $ \hat{p} $ da amostra anterior, vamos assumir o pior cenário para $ p $, que é 0,5. Isso maximiza $ p(1 - p) $ e garante que nossa amostra seja suficiente.

Passo 5

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:
n = ( 1,96^2 cdot 0,5 cdot (1 - 0,5)0,02^2 )

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular $ 1,96^2 $:
1,96^2
  1. Calcular $ 0,5 \cdot (1 - 0,5) $:
1,96^2 = 3,8416
  1. Calcular $ 0,02^2 $:
0,5 cdot (1 - 0,5)
  1. Agora, substituir esses valores na fórmula:
0,5 cdot 0,5 = 0,25

Passo 7

Continuando os cálculos:
n = 0,96040,0004 = 2401

Resposta

O tamanho de amostra necessário é de 2401 famílias.

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