Uma amostra de areia totalmente seca enche um cilindro de metal de 200 \mathrm{~cm}^{3} e pesa 260 g . Tendo-se \gamma_{\mathrm{s}}= 26 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3} calcule o seu índice de vazios e sua porosidade.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos duas coisas: o índice de vazios e a porosidade da amostra de areia totalmente seca. \n
Dados fornecidos: \n
  • Volume total da amostra V = 200\\ \mathrm{cm}^3. \n
  • Massa da amostra (seca) m = 260\\ \mathrm{g}. \n
  • Unidade de peso específico dos grãos (peso por volume dos sólidos) \gamma_{\mathrm{s}} = 26\\ \mathrm{kN/m}^3. \n
    Observação: a amostra está seca, então toda a massa é massa dos sólidos (não há água).

Passo 2

Converter unidades para um sistema consistente e entender o que é \gamma_{\mathrm{s}}. \n
Explicação didática: \gamma_{\mathrm{s}} é o peso por unidade de volume dos sólidos. Para obter a densidade (massa por volume) dos sólidos \rho_{\mathrm{s}} usamos a relação entre peso específico e densidade:
\gamma_{\mathrm{s}} = \rho_{\mathrm{s}} \, g
onde g é a aceleração gravitacional. Vamos usar g = 9,81\\ \mathrm{m/s}^2. \n
Primeiro colocamos \gamma_{\mathrm{s}} em \mathrm{N/m}^3:
\gamma_{\mathrm{s}} = 26\\ \mathrm{kN/m}^3 = 26000\\ \mathrm{N/m}^3

Passo 3

Calcular a densidade dos sólidos \rho_{\mathrm{s}}. \n
Usando \rho_{\mathrm{s}} = \dfrac{\gamma_{\mathrm{s}}}{g} obtemos:
\rho_{\mathrm{s}} = \dfrac{26000}{9,81}\\ \mathrm{kg/m}^3
Agora calculamos numericamente:
\rho_{\mathrm{s}} \approx 2651,4\\ \mathrm{kg/m}^3
Comentário didático: em geotecnia é comum ver densidades de grãos ao redor de 2600\text{–}2700\\ \mathrm{kg/m}^3 para minerais como quartzo.

Passo 4

Converter massa e volume para unidades coerentes com \rho_{\mathrm{s}}. \n
A massa dada é m = 260\\ \mathrm{g} = 0,260\\ \mathrm{kg}. \n
O volume total é V = 200\\ \mathrm{cm}^3. Como 1\\ \mathrm{cm}^3 = 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3, temos:
V = 200\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3 = 2{,}00\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^3

Passo 5

Calcular o volume dos sólidos V_{\mathrm{s}} a partir da massa dos sólidos e da densidade dos sólidos. \n
Fórmula usada:
V_{\mathrm{s}} = \dfrac{m}{\rho_{\mathrm{s}}}
Substituindo valores:
V_{\mathrm{s}} = \dfrac{0{,}260}{2651{,}4}\\ \mathrm{m}^3 \approx 9{,}8095\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3
Converter para \mathrm{cm}^3 (multiplicar por 10^{6}):
V_{\mathrm{s}} \approx 98{,}095\\ \mathrm{cm}^3
Explicação: esse é o volume ocupado apenas pelos grãos sólidos dentro do cilindro.

Passo 6

Calcular o volume dos vazios V_{\mathrm{v}}. \n
Definição: o volume dos vazios é a diferença entre o volume total e o volume dos sólidos:
V_{\mathrm{v}} = V - V_{\mathrm{s}}
Usando volumes em \mathrm{cm}^3 (mais direto nos números dados):
V_{\mathrm{v}} = 200{,}000\\ \mathrm{cm}^3\times 10^{-3}?
(Atenção: aqui já temos V=200\\ \mathrm{cm}^3 e V_{\mathrm{s}}\approx98{,}095\\ \mathrm{cm}^3. Vou usar esses valores:)
V_{\mathrm{v}} = 200 - 98{,}095 = 101{,}905\\ \mathrm{cm}^3
Observação: mantive a mesma unidade \mathrm{cm}^3 para evitar conversões desnecessárias.

Passo 7

Definir e calcular o índice de vazios e. \n
Definição didática: o índice de vazios e é a razão entre o volume de vazios e o volume dos sólidos:
e = \dfrac{V_{\mathrm{v}}}{V_{\mathrm{s}}}
Substituindo os valores em \mathrm{cm}^3:
e = \dfrac{101{,}905}{98{,}095} \approx 1{,}0391
Interpretação: e\approx1{,}04 significa que o volume de vazios é um pouco maior que o volume dos sólidos (um numerador cerca de 104\% do denominador).

Passo 8

Definir e calcular a porosidade n. \n
Definição didática: a porosidade n é a fração do volume total ocupada por vazios:
n = \dfrac{V_{\mathrm{v}}}{V}
Substituindo valores (usando \mathrm{cm}^3):
n = \dfrac{101{,}905}{200} \approx 0{,}509525
Podemos também relacionar n e e pela fórmula:
n = \dfrac{e}{1+e}
Verificação rápida usando e\approx1{,}0391:
n \approx \dfrac{1{,}0391}{1+1{,}0391} = \dfrac{1{,}0391}{2{,}0391} \approx 0{,}5095
Comentário: em porcentagem, n\approx50{,}95\%.

Resposta

e = 1{,}04 \n
n = 0{,}510 (ou 51{,}0\%)

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