Uma amostra de 2 mol de um gás ideal, monoatômico, com \mathrm{C}_{\mathrm{V}, \mathrm{m}}=3 / 2 \mathrm{R}, é aquecida de 100^{\circ} \mathrm{C} a 300^{\circ} \mathrm{C}, sob pressão constante. Calcule \Delta \mathrm{S}.
17,84 \mathrm{JK}^{-1}
18,53 \mathrm{JK}^{-1}
□ 16,44 JK-1
□ 18,21 JK-1
□ 17,05 JK-1

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: número de mols n=2.
  • Dado: gás monoatômico com capacidade molar a volume constante \,C_{V,m}=\tfrac{3}{2}R.
  • Dado: aquecimento sob pressão constante de 100^\circ\mathrm{C} para 300^\circ\mathrm{C}.
  • Pedido: calcular a variação de entropia \Delta S da amostra.

Passo 2

Ideia física e fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático).
  • Definição de entropia para um processo reversível:
\Delta S=\int_{\text{inicial}}^{\text{final}}\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Aqui o processo ocorre a pressão constante e assumimos aquecimento reversível/quasiestático (o que é o caminho padrão para calcular \Delta S quando nada mais é dito).
  • Em um processo a pressão constante para gás ideal, a quantidade de calor reversível trocada é
\delta Q_{\text{rev}}=n\,C_{p,m}\,dT,
onde C_{p,m} é a capacidade molar a pressão constante. Explico as variáveis:
  • n = número de mols (aqui 2);
  • C_{p,m} = capacidade molar a pressão constante (desconhecida ainda, vamos obter);
  • T = temperatura absoluta em kelvin; dT = variação infinitesimal de T.
  • Substituindo em \Delta S e integrando:
\Delta S = \int_{T_1}^{T_2}\frac{n\,C_{p,m}\,dT}{T}=n\,C_{p,m}\int_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T}=n\,C_{p,m}\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Essa expressão vale porque C_{p,m} é, para um gás ideal monoatômico em intervalo moderado de temperatura, constante (aqui adotamos C_{p,m} constante).

Passo 3

Determinar C_{p,m} a partir de C_{V,m} e converter temperaturas para kelvin.
  • Relação entre capacidades molares de um gás ideal:
C_{p,m}=C_{V,m}+R.
Substituindo C_{V,m}=\tfrac{3}{2}R:
C_{p,m}=\tfrac{3}{2}R+R=\tfrac{5}{2}R.
  • Converter temperaturas do enunciado para kelvin:
T_1=100^\circ\mathrm{C}=100+273{,}15=373{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_2=300^\circ\mathrm{C}=300+273{,}15=573{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Substituir em \Delta S=n\,C_{p,m}\ln\!\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right) e simplificar simbolicamente antes de calcular numericamente.
  • Como C_{p,m}=\tfrac{5}{2}R e n=2,
n\,C_{p,m}=2\cdot\frac{5}{2}R=5R.
Logo
\Delta S=5R\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).

Passo 5

Calcular numericamente a razão de temperaturas e seu logaritmo natural.
  • Razão:
\frac{T_2}{T_1}=\frac{573{,}15}{373{,}15}\approx 1{,}535673\ldots
  • Logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)\approx 0{,}42897\ldots

Passo 6

Avaliar 5R numericamente e multiplicar pelo logaritmo.
  • Constante dos gases: R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Então
5R\approx 5\cdot 8{,}314=41{,}57\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Produto:
\Delta S = 41{,}57\cdot 0{,}42897\ldots \\ \mathrm{J\,K^{-1}}\approx 17{,}84\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Resposta

17{,}84\\ \mathrm{J\,K^{-1}}