Uma amostra de ar seco tem uma temperatura de 300 K , um volume de 3 litros, e uma pressão de 4 atm . Esta amostra sofre os seguintes processos: (a) é aquecido a pressão constante até 500 K , (b) é resfriado a volume constante até 250 K , (c) é resfriado a pressão constante até 150 K , e (d) é aquecido a volume constante até 300 K . (1) Descreva graficamente em um diagrama ( p, V ) cada uma das mudanças, indicando os valores finais de pressão e volume depois de cada mudança. (2) Calcule o trabalho total realizado.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de ar seco, tratada como gás ideal, no estado inicial \,T_{1}=300\\ \mathrm{K},\\ V_{1}=3\\ \mathrm{L},\\ p_{1}=4\\ \mathrm{atm}.
Ela passa por quatro processos em ciclo: (a) isobárico até 500\\ \mathrm{K}, (b) isocórico até 250\\ \mathrm{K}, (c) isobárico até 150\\ \mathrm{K} e (d) isocórico até 300\\ \mathrm{K}.
Precisamos (1) obter os pontos finais (p,V) de cada etapa e descrever graficamente o ciclo em diagrama p- V e (2) calcular o trabalho total
\;W=\oint p\,dV\;.

Passo 2

Processo (a): aquecimento a pressão constante p_{1}=4\\ \mathrm{atm} de T_{1}=300\\ \mathrm{K} até T_{2}=500\\ \mathrm{K}.
Em isobárico, \;V\propto T, logo
V_{2}=V_{1}\,\frac{T_{2}}{T_{1}} =3\\ \mathrm{L}\,\frac{500}{300} =5\\ \mathrm{L}.
Então o ponto 2 é \bigl(p_{2}=4\\ \mathrm{atm},\,V_{2}=5\\ \mathrm{L}\bigr).

Passo 3

Processo (b): resfriamento a volume constante V_{2}=5\\ \mathrm{L} de T_{2}=500\\ \mathrm{K} até T_{3}=250\\ \mathrm{K}.
Em isocórico, \;p\propto T, logo
p_{3}=p_{2}\,\frac{T_{3}}{T_{2}} =4\\ \mathrm{atm}\,\frac{250}{500} =2\\ \mathrm{atm}.
O ponto 3 é \bigl(p_{3}=2\\ \mathrm{atm},\,V_{3}=5\\ \mathrm{L}\bigr).

Passo 4

Processo (c): resfriamento a pressão constante p_{3}=2\\ \mathrm{atm} de T_{3}=250\\ \mathrm{K} até T_{4}=150\\ \mathrm{K}.
Em isobárico, \;V\propto T, logo
V_{4}=V_{3}\,\frac{T_{4}}{T_{3}} =5\\ \mathrm{L}\,\frac{150}{250} =3\\ \mathrm{L}.
O ponto 4 é \bigl(p_{4}=2\\ \mathrm{atm},\,V_{4}=3\\ \mathrm{L}\bigr).

Passo 5

Processo (d): aquecimento a volume constante V_{4}=3\\ \mathrm{L} de T_{4}=150\\ \mathrm{K} até T_{5}=300\\ \mathrm{K}.
Em isocórico, \;p\propto T, logo
p_{5}=p_{4}\,\frac{T_{5}}{T_{4}} =2\\ \mathrm{atm}\,\frac{300}{150} =4\\ \mathrm{atm}.
O ponto 5 fecha o ciclo em \bigl(p_{5}=4\\ \mathrm{atm},\,V_{5}=3\\ \mathrm{L}\bigr), voltando ao estado inicial.

Passo 6

Descrição gráfica no plano p- V:
a) de (3\,\mathrm{L},4\,\mathrm{atm}) a (5,4): linha horizontal à direita (expansão isobárica).
b) de (5,4) a (5,2): linha vertical pra baixo (resfriamento isocórico).
c) de (5,2) a (3,2): linha horizontal à esquerda (compressão isobárica).
d) de (3,2) a (3,4): linha vertical pra cima (aquecimento isocórico).

Passo 7

Cálculo do trabalho em cada trecho:
– (a) isobárico:
W_{a}=p_{1}\,(V_{2}-V_{1}) =4\\ \mathrm{atm}\,(5-3)\\ \mathrm{L} =8\\ \mathrm{L\cdot atm}.
– (b) isocórico: W_{b}=0.
– (c) isobárico:
W_{c}=p_{3}\,(V_{4}-V_{3}) =2\\ \mathrm{atm}\,(3-5)\\ \mathrm{L} =-4\\ \mathrm{L\cdot atm}.
– (d) isocórico: W_{d}=0.
Trabalhos somados:
W_{\rm total} =8+0-4+0 =4\\ \mathrm{L\cdot atm} \approx4\times101{,}325\\ \mathrm{J} =405{,}3\\ \mathrm{J}.

Resposta

(1) Estados finais:
– Após (a): \,p=4\\ \mathrm{atm},\\ V=5\\ \mathrm{L}.
– Após (b): \,p=2\\ \mathrm{atm},\\ V=5\\ \mathrm{L}.
– Após (c): \,p=2\\ \mathrm{atm},\\ V=3\\ \mathrm{L}.
– Após (d): \,p=4\\ \mathrm{atm},\\ V=3\\ \mathrm{L}.
No diagrama p- V forma-se um retângulo, seguindo os segmentos descritos no Passo 6.
(2) Trabalho total realizado no ciclo:
W_{\rm total} \approx405{,}3\\ \mathrm{J}.

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