Uma amostra de ar úmido, aprisionada em um conjunto cilindro pistão, possui 1 kg e está inicialmente a 21^{\circ} \mathrm{C}, 1 bar e 70 \% de umidade relativa, sendo então resfriada até 5^{\circ} \mathrm{C}, mantendo a pressão constante durante este processo. Determine
a razão de mistura no inicio do processo (inicial)
R.: 0,011 \mathrm{~kg} vapor / \mathrm{kg} ar seco

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de ar úmido aprisionada num cilindro-pistão com as seguintes informações iniciais:
\text{massa total} = 1\\ \mathrm{kg}
\text{temperatura inicial} = 21^\circ\mathrm{C}
\text{pressão constante} = 1\\ \mathrm{bar} = 100\\ \mathrm{kPa}ã
\text{umidade relativa inicial} = 70\% = 0{,}70
O processo continua com resfriamento até 5^\circ\mathrm{C} a pressão constante, mas a pergunta que queremos responder agora é: determinar a razão de mistura inicial (razão de mistura = massa de vapor de água por massa de ar seco), ou seja, determinar o valor inicial de w em unidades de \mathrm{kg\\ vapor}/\mathrm{kg\\ ar\\ seco}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas importantes (explicação didática).
  • Definição de umidade relativa \varphi: é a razão entre a pressão parcial do vapor d’água e a pressão de saturação do vapor à mesma temperatura:
\varphi = \frac{p_v}{p_{sat}(T)}
onde p_v é a pressão parcial do vapor d’água e p_{sat}(T) é a pressão de saturação da água à temperatura T. Assim, para obter p_v basta multiplicar:
p_v = \varphi \, p_{sat}(T).
  • Definição de razão de mistura w: é a razão entre a massa de vapor d’água m_v e a massa de ar seco m_a,
w = \frac{m_v}{m_a}.
Podemos relacionar pressões e massas usando a equação dos gases ideais separadamente para o vapor e para o ar seco. Para um mesmo volume V e temperatura T,
p_v V = m_v R_v T,\qquad p_a V = m_a R_a T,
onde R_v e R_a são as constantes específicas dos gases (vapor d’água e ar seco). Dividindo as duas equações:
\frac{m_v}{m_a} = \frac{R_a}{R_v}\frac{p_v}{p_a}.
Como p_a = p - p_v (pelo princípio de Dalton: pressão total é soma das parciais), obtemos a forma prática:
\boxed{\,w = \frac{m_v}{m_a} = \frac{R_a}{R_v}\cdot\frac{p_v}{p - p_v}\,}
  • Valor numérico do fator \dfrac{R_a}{R_v}: é igual à razão das massas molares M_v/M_a invertida; numericamente
\frac{R_a}{R_v} \approx 0{,}622.
Portanto a fórmula usada rotineiramente em psicrometria é
\boxed{\,w = 0{,}622\;\frac{p_v}{p - p_v}\,}
Nessa fórmula p e p_v devem estar nas mesmas unidades (ex.: \mathrm{kPa}).

Passo 3

Calcular a pressão parcial do vapor inicial p_v.
  • Primeiro precisamos de p_{sat}(21^\circ\mathrm{C}). Vou usar o valor obtido em uma tabela de vapor d’água (tabela de pressão de saturação):
p_{sat}(21^\circ\mathrm{C}) = 2{,}492\\ \mathrm{kPa}
(este valor foi retirado de uma tabela de vapor d’água / tabela de saturação).
  • Como a umidade relativa inicial é \varphi = 0{,}70, temos
p_v = \varphi\, p_{sat} = 0{,}70 \times 2{,}492\\ \mathrm{kPa}.
Agora calculamos:
p_v = 0{,}70 \times 2{,}492 = 1{,}7444\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando de modo prático para cálculos manuais podemos usar p_v \approx 1{,}744\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Calcular a razão de mistura w usando a fórmula.
  • A pressão total é p = 100\\ \mathrm{kPa}. Substituímos em
w = 0{,}622\;\frac{p_v}{p - p_v}.
  • Substituindo os números:
w = 0{,}622\;\frac{1{,}744\\ \mathrm{kPa}}{100\\ \mathrm{kPa} - 1{,}744\\ \mathrm{kPa}}.
  • Calcule o denominador:
100 - 1{,}744 = 98{,}256\\ \mathrm{kPa}.
  • Agora o quociente:
\frac{1{,}744}{98{,}256} \approx 0{,}017748.
  • Multiplicando por 0{,}622:
w \approx 0{,}622 \times 0{,}017748 \approx 0{,}01104.
Arredondando de forma compatível com a precisão dos dados:
w \approx 0{,}0110\\ \mathrm{kg\\ vapor}/\mathrm{kg\\ ar\\ seco}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida.
  • O valor obtido w\approx 0{,}011 significa que há cerca de 0{,}011\\ \mathrm{kg} de vapor para cada 1\\ \mathrm{kg} de ar seco.
  • Se quiser transformar isso em massas na amostra total de 1\\ \mathrm{kg}: como m_{total} = m_a + m_v e m_v = w m_a, então m_a = \dfrac{m_{total}}{1+w} e m_v = m_{total}-m_a. (isso é um extra opcional para entender a partição de massa; não era exigido, mas é útil em provas).

Resposta

\,0,011\\ \mathrm{kg\\ vapor}/\mathrm{kg\\ ar\\ seco}

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