Uma amostra de ar úmido, aprisionada em um conjunto cilindro pistão, possui 1 kg e está inicialmente a 21^{\circ} \mathrm{C}, 1 bar e 70 \% de umidade relativa, sendo então resfriada até 5^{\circ} \mathrm{C}, mantendo a pressão constante durante este processo. Determine
quantidade de vapor d’água que se condensa ou quantidade de condensado formado, em kg
R.: 0,0055 \mathrm{~kg} de condensado

Passo 1

O que o problema pede: determinar a quantidade de vapor d’água que se condensa (massa de condensado, em kg) quando uma amostra de ar úmido de massa total 1\\ \text{kg} é resfriada de 21^\circ\mathrm{C} para 5^\circ\mathrm{C} a pressão constante de 1\\ \text{bar} (ou 100\\ \text{kPa}).
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Massa total do ar úmido: } 1\\ \text{kg} \\\ &\text{Temperatura inicial: } T_1 = 21^\circ\mathrm{C} \\\ &\text{Temperatura final: } T_2 = 5^\circ\mathrm{C} \\\ &\text{Pressão total (constante): } p = 1\\ \text{bar} = 100\\ \text{kPa} \\\ &\text{Umidade relativa inicial: } \phi_1 = 70\% = 0{,}70 \end{aligned}úã

Passo 2

Plano de resolução (explicado de forma prática): vamos calcular a razão de mistura (ou razão de umidade) inicial w_1 e a razão de mistura final w_2. A razão de mistura w é definida como a massa de vapor por massa de ar seco:
w=\frac{m_v}{m_d}
onde m_v é a massa de vapor e m_d a massa de ar seco. Se o ar é resfriado a pressão constante e ocorrer condensação, o vapor final estará na saturação a T_2, logo seu pressão parcial final p_{v2}=p_{\text{sat}}(T_2). A massa condensada por massa de ar seco é então \Delta w = w_1-w_2. Como a amostra tem massa total 1\\ \text{kg}, vamos transformar essa quantidade por massa de ar seco em massa absoluta de condensado usando m_d = \dfrac{1}{1+w_1} (pois 1 = m_d + m_v = m_d(1+w_1)). Portanto:
m_{\text{cond}} = m_d\,(w_1-w_2)=\frac{w_1-w_2}{1+w_1}.
Agora vamos calcular w_1 e w_2.

Passo 3

Como obter as pressões de saturação de vapor d’água a T_1 e T_2: uso a fórmula de Tetens (uma expressão prática que dá a pressão de saturação em kPa para temperaturas em ^\circ\mathrm{C}):
p_{\text{sat}}(T)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\quad\text{(kPa, com \(T\) em \(^\circ\mathrm{C}\))}
Calculemos para T_1=21^\circ\mathrm{C}:
\frac{17{,}27\cdot 21}{21+237{,}3}=\frac{362{,}67}{258{,}3}=1{,}4046
p_{\text{sat}}(21^\circ\mathrm{C})=0{,}61078\exp(1{,}4046)=0{,}61078\cdot 4{,}073\approx 2{,}488\\ \text{kPa}.
Agora para T_2=5^\circ\mathrm{C}:
\frac{17{,}27\cdot 5}{5+237{,}3}=\frac{86{,}35}{242{,}3}=0{,}3563
p_{\text{sat}}(5^\circ\mathrm{C})=0{,}61078\exp(0{,}3563)=0{,}61078\cdot 1{,}427\approx 0{,}872\\ \text{kPa}.

Passo 4

Pressão parcial de vapor inicial p_{v1}: pela definição de umidade relativa,
p_{v1}=\phi_1\,p_{\text{sat}}(T_1)=0{,}70\cdot 2{,}488\\ \text{kPa}=1{,}742\\ \text{kPa}\\ \text{(aprox.)}.

Passo 5

Fórmula da razão de mistura w em função da pressão parcial do vapor:
w=0{,}622\,\frac{p_v}{p-p_v}
Explicação: o fator 0{,}622 é a razão das massas molares (ou dos R específicos) entre vapor d’água e ar seco; p_v é a pressão parcial do vapor e p a pressão total. Agora calculamos w_1 com p_{v1}=1{,}742\\ \text{kPa} e p=100\\ \text{kPa}:
w_1=0{,}622\cdot\frac{1{,}742}{100-1{,}742}=0{,}622\cdot\frac{1{,}742}{98{,}258}=0{,}01102\\ \text{kg de vapor / kg de ar seco}.

Passo 6

No estado final (resfriado a 5^\circ\mathrm{C}) o vapor restante estará em saturação, então p_{v2}=p_{\text{sat}}(5^\circ\mathrm{C})=0{,}872\\ \text{kPa}. Calculamos w_2:
w_2=0{,}622\cdot\frac{0{,}872}{100-0{,}872}=0{,}622\cdot\frac{0{,}872}{99{,}128}=0{,}00547\\ \text{kg de vapor / kg de ar seco}.

Passo 7

Diferença de razão de mistura (massa de vapor condensada por kg de ar seco):
\Delta w = w_1-w_2 = 0{,}01102-0{,}00547 = 0{,}00555\\ \text{kg vapor / kg ar seco}.

Passo 8

Converter para massa de condensado na amostra de 1\\ \text{kg} de ar úmido: primeiro a massa de ar seco na amostra é
m_d=\frac{1}{1+w_1}=\frac{1}{1+0{,}01102}=\frac{1}{1{,}01102}=0{,}9891\\ \text{kg}.
Portanto a massa de condensado é
m_{\text{cond}}=m_d\Delta w=0{,}9891\cdot 0{,}00555=0{,}00549\\ \text{kg}\approx 0{,}0055\\ \text{kg}.

Passo 9

Interpretação rápida: isso significa que, numa amostra de 1\\ \text{kg} de ar úmido nas condições dadas, ao resfriar até 5^\circ\mathrm{C} a pressão constante, cerca de 5{,}5\\ \text{g} de água se condensam. Número pequeno, mas consistente com o fato de que o ar a 21^\circ\mathrm{C},\,70\% já não contém muita água absoluta.

Resposta

0,0055 kg

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