Ana está num carro, que se move para a direita com velocidade \vec{v}=v \vec{j}, ao longo de uma estrada retilínea, paralela ao eixo y. Num dado ponto desta estrada está Pedro, no interior de um carro parado. Ana passa por Pedro e, depois de decorrido um intervalo de tempo T, no referencial do solo, Pedro passa a perseguir o carro de Ana, com uma velocidade u_{S},\left(u_{S}>v\right). Tomando como origem a passagem de Ana por Pedro, determine:
(a) o instante e a posição da saída de Pedro, nos referenciais do solo e de Ana;
(b) o instante e a posição em que Pedro alcança Ana, nos referenciais do solo e de Ana;
(c) a velocidade de Pedro em relação a Ana, usando os resultados anteriores.
(d) a velocidade de Pedro em relação a Ana, usando as regras de adição de velocidades

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado, sem resolver nada ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Ana move-se ao longo do eixo y para a direita com velocidade constante \vec{v}=v\vec{j}. Vou usar a coordenada escalar y positiva no sentido do movimento; portanto a velocidade escalar de Ana no referencial do solo é v.
    • No instante que Ana passa por Pedro foi escolhida a origem: então no referencial do solo, no instante t=0 temos y_{\text{Ana}}(0)=0 e Pedro também está em y_{\text{Pedro}}(0)=0.
    • Pedro permaneceu parado (no solo) até um instante t=T (medido no referencial do solo), quando então começa a perseguir Ana com velocidade escalar constante u_{S} relativa ao solo, com u_{S}>v.
  • O que o enunciado pede:
    (a) o instante e a posição da saída de Pedro, nos referenciais do solo e de Ana;
    (b) o instante e a posição em que Pedro alcança Ana, nos referenciais do solo e de Ana;
    (c) a velocidade de Pedro em relação a Ana, usando os resultados anteriores;
    (d) a velocidade de Pedro em relação a Ana, usando as regras de adição de velocidades.

Passo 2

Descrever as trajetórias no referencial do solo [S) (vai ser a base para resolver tudo).
  • Ana: movimento retilíneo uniforme com velocidade v. A posição de Ana no solo é
y_{\text{Ana}}(t)=v t.
Aqui t é o tempo medido no solo, e v é a velocidade constante (unidades de comprimento/tempo).
  • Pedro: fica parado até t=T e a partir de t=T desloca-se com velocidade constante u_{S}. Escreve-se a posição de Pedro no solo em forma peça por peça:
y_{\text{Pedro}}(t)=\begin{cases} 0, & 0\le t < T,\\[6pt] u_{S}\,(t-T), & t\ge T. \end{cases}
Explicação curta: para t<T\] Pedro não se move, então fica em \(y=0; para t\ge T mede-se o tempo de movimento efetivo como t-T e multiplica-se pela velocidade u_{S}.]

Passo 3

Resolver (a): instante e posição da saída de Pedro no referencial do solo e no referencial de Ana.
  • No solo S: Pedro sai exatamente no instante dado t=T e naquele instante a posição dele é
y_{\text{Pedro}}(T)=0.
Portanto, no referencial do solo a saída ocorre em t=T e y=0.
  • No referencial de Ana (chamo de S'): usar transformação galileana (tempo igual em mecânica clássica). As transformações de coordenada unidimensional são
t'=t,\qquad y'=y - v t,
onde y' é a posição medida no referencial que se move com velocidade v (o de Ana). Aplicando ao evento “Pedro sai” (evento com coordenadas no solo t=T,\\ y=0) obtemos
t' = T,\qquad y' = 0 - v T = -\,v T.
Interpretação: no referencial de Ana, no instante em que Pedro começa a persegui-la ele está atrás de Ana a uma distância vT (posição negativa se tomar frente como positiva). Portanto a saída de Pedro, em S', ocorre em t'=T e y'=-vT.

Passo 4

Resolver (b) — encontrar instante e posição em que Pedro alcança Ana no referencial do solo S.
  • Para achar o instante de encontro t_c no solo, igualamos as posições para t\ge T:
y_{\text{Pedro}}(t)=y_{\text{Ana}}(t).
Substituindo as expressões para t\ge T:
u_{S}(t-T)=v t.
Resolver para t:
u_{S} t - u_{S} T = v t \quad\Rightarrow\quad (u_{S}-v)t = u_{S} T \quad\Rightarrow\quad t_c = \dfrac{u_{S}\,T}{\,u_{S}-v\,}.
Observação: como u_{S}>v, o denominador é positivo e t_c>T, como deve ser.
  • A posição de encontro no solo é y_c = v t_c. Substituindo t_c obtemos
y_c = v\; \dfrac{u_{S}\,T}{\,u_{S}-v\,} = \dfrac{v\,u_{S}\,T}{\,u_{S}-v\,}.
(Alternativamente poderia usar y_c = u_{S}(t_c-T); dá o mesmo resultado.)

Passo 5

Transformar o evento de encontro para o referencial de Ana S'.
  • A transformação galileana dá para o evento de encontro:
t'_c = t_c\quad(\text{mesmo tempo}),\qquad y'_c = y_c - v t_c.
Mas como y_c = v t_c temos imediatamente
y'_c = v t_c - v t_c = 0.
Interpretação física: no referencial de Ana ela está em repouso na origem y'=0; o encontro ocorre onde Ana está, isto é y'=0. O instante no referencial de Ana é o mesmo t'_c=t_c.

Passo 6

Explicações e verificação de consistência (didática): por que o tempo é o mesmo em ambos os referenciais?
  • Estamos usando a mecânica clássica (velocidades bem menores que a da luz), portanto o tempo é absoluto: t'=t. É por isso que os instantes numericamente coincidem. A posição, porém, transforma-se como se a origem do referencial de Ana se deslocasse com velocidade v.

Passo 7

Resolver (c) usando resultados anteriores: velocidade de Pedro em relação a Ana, calculada a partir dos deslocamentos e tempos obtidos.
  • No referencial de Ana, Pedro saiu de y'_{\text{início}}=-vTí no instante t'=T e alcançou Ana em y'_{\text{fim}}=0 no instante t'_c=t_c. A velocidade média (e aqui constante) de Pedro em S' é
u_{P/A} = \dfrac{\Delta y'}{\Delta t'} = \dfrac{0 - (-vT)}{t_c - T} = \dfrac{vT}{t_c - T}.
  • Substituir t_c obtido no Passo 4: calcule t_c - T:
t_c - T = \dfrac{u_{S}T}{u_{S}-v} - T = \dfrac{u_{S}T - (u_{S}-v)T}{u_{S}-v} = \dfrac{vT}{u_{S}-v}.
  • Então
u_{P/A} = \dfrac{vT}{\dfrac{vT}{u_{S}-v}} = u_{S} - v.
Conclusão: a velocidade de Pedro em relação a Ana é u_{S}-v. É uma velocidade positiva (Pedro se aproxima de Ana no sentido positivo em S'), compatível com u_{S}>v.

Passo 8

Resolver (d) usando as regras de adição de velocidades (justificar e aplicar).
  • Em mecânica clássica a regra de adição de velocidades unidimensionais entre dois referenciais que se movimentam um em relação ao outro com velocidade v é simplesmente
u' = u - v,
onde u é a velocidade medida no solo e u' é a velocidade medida em um referencial que se move com velocidade v (aqui, o referencial de Ana). Aplicando diretamente com u=u_{S} e subtraindo v obtemos
u' = u_{S} - v.
  • Essa fórmula é a mesma que encontramos no Passo 7; é a consequência do fato de que as velocidades se somam/subtraem em transformações galileanas. Portanto os dois métodos coincidem.

Resposta

(a) No referencial do solo: t=T,\\ y=0.
(a) No referencial de Ana: t'=T,\\ y'=-vT.
(b) No referencial do solo: t_c=\dfrac{u_{S}T}{\,u_{S}-v\,},\quad y_c=\dfrac{v\,u_{S}\,T}{\,u_{S}-v\,}.
(b) No referencial de Ana: t'_c=t_c,\\ y'_c=0.
(c) Velocidade de Pedro em relação a Ana (usando os resultados): u_{P/A}=u_{S}-v.
(d) Velocidade de Pedro em relação a Ana (pela regra de adição): u_{P/A}=u_{S}-v.

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