Para analisar a massa específica de uma substância é necessário delimitar um volume mínimo no espaço, '. Por que não devemos utilizar volumes menores? O que ocorre fisicamente com a massa específica?
Passo 1
O que o enunciado pergunta: por que não devemos usar volumes arbitrariamente pequenos para definir a massa específica de uma substância e o que acontece fisicamente com a massa específica quando o volume fica muito pequeno.
Informações dadas (implícitas): para medir massa específica precisamos escolher um volume sobre o qual fazemos a razão massa/volume; existe um “volume mínimo” prático que deve ser usado.
Passo 2
O que é massa específica (definição que usamos na prova): a massa específica em um ponto costuma ser entendida como o limite da razão massa por volume quando o volume tende a zero, isto é,
\rho(\mathbf{x})=\lim_{V\to0}\frac{m(V)}{V},
onde \rho(\mathbf{x}) é a massa específica no ponto \mathbf{x}, m(V) é a massa contida no volume V em volta de \mathbf{x}. Essa definição só faz sentido se, ao reduzir V, a razão m(V)/V convergir para um valor único e estável. Na prática, precisamos que esse limite “se comporte bem” — é daí que vem a necessidade de não escolher volumes muito pequenos.
Passo 3
Por que volumes muito pequenos dão problema (a raiz física): a matéria não é contínua no nível microscópico — é formada por átomos e moléculas discretas. Se o volume escolhido tem tamanho comparável ao diâmetro das moléculas ou menor:
o número de moléculas dentro de V é pequeno (pode ser 0,1,2,\dots);
a massa m(V) passa a ter saltos discretos quando uma molécula entra ou sai do volume;
portanto a razão m(V)/V pula e não converge para um valor estável.
Exemplo simples: se V é menor que o volume ocupado por uma molécula, m(V) será ou 0 (se não houver molécula dentro) ou aproximadamente a massa de uma molécula — então a densidade “medida” é 0 ou um valor muito grande, dependendo do caso. Isso mostra que, fisicamente, para volumes menores que a escala molecular a massa específica perde significado contínuo.
Passo 4
Como quantificamos a incerteza/flutuação (argumento estatístico simples): suponha que cada partícula tenha massa \,m_0 e que, em média, haja N partículas dentro do volume V. A massa média é
\overline{M}=N\,m_0.
Para partículas quase independentes, a variância da massa total escala com N (soma de variâncias), então o desvio padrão da massa é proporcional a \sqrt{N}\,m_0. O desvio relativo (fração típica de variação) da massa é então
Como a densidade é massa dividido por volume, essa mesma estimativa vale para a flutuação relativa da densidade: flutuações relativas típicas \sim 1/\sqrt{N}. Conclusão prática: para obter uma densidade “estável” (pequenas flutuações relativas) precisamos que N seja grande.
Passo 5
Escolha prática do volume (o conceito de REV): por isso se define um volume elementar representativo (REV, do inglês Representative Elementary Volume) — é um volume que:
é muito maior que a escala microscópica (muitos átomos/moléculas dentro), para reduzir flutuações estatísticas;
é muito menor que a escala macroscópica de interesse, para que possamos considerar propriedades locais.
Critério numérico simples: se queremos flutuações relativas da densidade menores que, por exemplo, 1\%, precisamos de 1/\sqrt{N}<0,01, ou seja
N>10^{4}.
Logo escolhemos V tal que contenha mais do que esse N de moléculas. Para fluidos comuns isso significa volumes muito pequenos em escala macroscópica, mas muito maiores que o tamanho molecular.
Passo 6
Casos especiais que exigem cuidado — superfícies, misturas e meios heterogêneos: quando a substância tem heterogeneidades em escala pequena (por exemplo, mistura de dois líquidos, porosidade, grãos, ou uma interface líquido/gás), o REV tem que ser ainda maior do que o comprimento característico dessas heterogeneidades. Se você escolher V menor que a escala da heterogeneidade, a densidade medida dependerá da posição do volume (em cima de um poro, dentro de um grão, na interface) e não haverá um valor representativo único.
Passo 7
Implicações práticas e para a prova:
Em modelos contínuos (equações de mecânica dos fluidos, termodinâmica clássica) assumimos que existe \rho(\mathbf{x}) bem definida — isso depende de ter escolhido implicitamente um REV.
Se na prova pedirem argumentos sobre validade da aproximação contínua, use o raciocínio das flutuações \sim 1/\sqrt{N} e do REV.
Se pedirem consequências físicas de usar volumes muito pequenos: diga que a densidade passa a apresentar flutuações grandes, não é única, e pode até saltar entre 0 e valores discretos (quando o volume é menor que o tamanho de uma molécula).
Passo 8
Resumo motivador: escolha um volume suficientemente grande para conter muitas moléculas (reduzindo flutuações estatísticas) mas pequeno em relação à escala macroscópica que você quer descrever. Assim a massa específica é uma propriedade bem definida e útil; se você cortar a escala demais, a massa específica “desanda” porque a matéria é microscópica e discreta — a densidade então oscila e perde o caráter contínuo que usamos nas equações.
Resposta
Porque a matéria é discreta: para volumes menores que uma escala microscópica a massa dentro do volume passa a saltar quando moléculas entram ou saem, tornando \rho=m/V instável e sem valor contínuo bem definido; por isso escolhemos um volume elementar representativo (REV) grande o suficiente para conter muitas moléculas (reduzindo flutuações relativas que caem como 1/\sqrt{N}) e pequeno em relação à escala macroscópica, garantindo uma massa específica física e estável.