2.3 Um fio de aço de 60 m de comprimento está submetido a uma força de tração de 6 kN . Sabendo que
e que o comprimento do fio deve aumentar no máximo 48 mm , determine
o menor diâmetro que pode ser selecionado para o fio e (b) a tensão normal correspondente.
2.33 Uma barra de 250 mm de comprimento e seção transversal retangular de
é formada por duas camadas de alumínio de 5 mm de espessura, e uma camada central de latão de mesma espessura. Se o conjunto é submetido a forças centradas de intensidade
, e sabendo que
e
, determine a tensão normal (
) nas camadas de alumínio e (
) na camada de bronze.
2.33 Uma barra de 250 mm de comprimento e seção transversal retangular de
Passo 1
Enunciado e dados (vou listar separadamente os dados e o que cada pergunta pede):
Problema 2.3 — Dados:
O que se pede:
(a) o menor diâmetro do fio, (b) a tensão normal correspondente.
(a) o menor diâmetro do fio, (b) a tensão normal correspondente.
Problema 2.33 — Dados:
O que se pede:
(a) a tensão normal nas camadas de alumínio, (b) a tensão normal na camada de latão.
(a) a tensão normal nas camadas de alumínio, (b) a tensão normal na camada de latão.
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais (aulas rápidas e intuitivas que vamos usar).
- Deformação axial e Lei de Hooke (modo simples):
- Definimos deformação axial média como
, que é sem unidade. - A Lei de Hooke no regime elástico linear diz que a tensão normal média
e a deformação estão relacionadas por
Aqui
tem unidades de
(ou MPa),
também em
, e
é adimensional.
- Equilíbrio axial (forças internas):
- Para uma barra de área de seção transversal
submetida a força axial , a tensão média é
- Relação deformação-deslocamento:
- A elongação axial (variação de comprimento) relaciona-se com tensão por
Esta última expressão é muito útil: ela relaciona a força aplicada
com a área necessária para que a barra sofra uma elongação
.
Vou usar essas fórmulas no problema 2.3. Para o problema 2.33, aproveitamos o fato de que, em um conjunto de materiais perfeitamente aderidos em corte plano (as camadas estão em paralelo ao eixo), todos têm a mesma deformação axial
. Assim, cada material carrega uma fração da força proporcional a
, e o equilíbrio total dá
de onde
para cada material
.
Passo 3
Resolução do problema 2.3 — expressão para o diâmetro mínimo.
Começo da montagem matemática: queremos que a elongação não ultrapasse
. A relação é
Para um fio circular de diâmetro
, a área é
Substituindo em
e isolando
:
Isolando
e depois
:
Essa é a fórmula que vamos aplicar numericamente.
Passo 4
Resolução do problema 2.3 — conversões e substituição numérica (cada passo com cuidado).
Dados numéricos (já convertidos para unidades coerentes
,
,
):
Aplicando a fórmula
Vou calcular passo a passo:
Dividindo:
Portanto
Obs.: eu arredondei para duas casas decimais; na prova você pode escrever
ou escolher o diâmetro comercial imediatamente superior.
Passo 5
Resolução do problema 2.3 — cálculo da tensão normal correspondente (duas formas alternativas e equivalentes).
Forma 1 (direta pelo esforço):
Usando o valor de
que encontramos (aprox.
):
Forma 2 (mais simples e sempre válida): primeiro calcular
, depois
.
As duas formas dão o mesmo valor,
. (Aqui usei a notação
.)
Passo 6
Transição para o problema 2.33 — explicando o método a usar (por que ele funciona).
Quando várias camadas diferentes formam um mesmo elemento ligado e axialmente carregado, assumimos que não há deslizamento entre camadas, logo todas têm a mesma deformação axial
. Cada camada
tem área
e módulo
; então a força transportada por essa camada é
. O equilíbrio de forças pede
Isolando
:
e finalmente
Essa é a fórmula que vamos aplicar no problema com três camadas (duas de alumínio idênticas e uma de latão).
Passo 7
Resolução do problema 2.33 — cálculo das áreas das camadas e preparação numérica.
Cada camada tem largura
e espessura
. Logo a área de cada camada é
Há duas camadas de alumínio (total
) e uma camada central de latão com
.
Agora os
em unidades compatíveis:
Passo 8
Resolução do problema 2.33 — cálculo do somatório
e da deformação
.
Calculo de cada contribuição:
Somando:
Agora a deformação comum:
Passo 9
Resolução do problema 2.33 — tensões nas camadas (aplico
).
Para o alumínio:
Para o latão:
Interpretação rápida: o latão, sendo mais rígido (
maior), carrega maior tensão para a mesma deformação; as duas camadas de alumínio juntas carregam o restante do esforço.
Resposta
2.3 (a)
2.3 (b)
2.33 (a)
2.33 (b)
2.3 (b)
2.33 (a)
2.33 (b)