Em uma análise de concentrações de IgG por UV-vis, foram obtidos os seguintes dados:
Padrão \left(\boldsymbol{\mu g} \cdot \mathbf{m L}^{\mathbf{- 1}}\right) Absorbância (\mathbf{A})
0 0,010
2 0,089
4 0,191
6 0,269
8 0,361
10 0,458
Além disso, mediram-se \mathbf{3} replicatas da amostra desconhecida (mesmo comprimento de onda):
  • A_{\text {unk }, 1}=0,287
  • A_{\text {unk }, 2}=0,320
  • A_{\text {unk }, 3}=0,305
Qual o valor de concentração de IgG? (expressar com média e desvio padrão)

Passo 1

O que o problema pede: a concentração de IgG da amostra desconhecida, expressa como média e desvio padrão, usando a curva padrão por UV‑vis.
Dados fornecidos (peguei os valores na tabela do enunciado):
Padrões:
\begin{array}{c|c} \text{Concentração }(\mu\mathrm{g}\cdot\mathrm{mL}^{-1}) & \text{Absorbância }(A)\\hline 0 & 0,010\\\\ 2 & 0,089\\\\ 4 & 0,191\\\\ 6 & 0,269\\\\ 8 & 0,361\\\\ 10 & 0,458 \end{array}çãâ
Replicatas da amostra desconhecida (peguei os três valores do enunciado):
A_{\text{unk},1}=0,287,\quad A_{\text{unk},2}=0,320,\quad A_{\text{unk},3}=0,305.

Passo 2

Entendimento do método (aula rápida e fórmula): por espectrofotometria, a absorbância costuma ser proporcional à concentração (Lei de Beer–Lambert, que diz que A\propto c para um dado comprimento de onda e caminho óptico). Na prática ajustamos uma reta pela curva padrão:
\hat{A}=m\;c+b,
onde:
  • \hat{A} é a absorbância prevista,
  • c é a concentração ( \mu\mathrm{g}\cdot\mathrm{mL}^{-1}),
  • m é a inclinação (sensibilidade: variação de A por unidade de c),
  • b é o intercepto (absorbância residual, por ex. do branco).
Para achar m e b usamos regressão linear por mínimos quadrados com as fórmulas
m=\frac{n\sum xy-(\sum x)(\sum y)}{n\sum x^2-(\sum x)^2}, \qquad b=\frac{\sum y-m\sum x}{n},
onde x são as concentrações, y as absorbâncias, e n o nº de pontos.
Calculemos as somas necessárias (com n=6):
\sum x = 0+2+4+6+8+10 = 30,
\sum y = 0,010+0,089+0,191+0,269+0,361+0,458 = 1,378,
\sum x^2 = 0+4+16+36+64+100 = 220,
\sum xy = 0\cdot0,010+2\cdot0,089+4\cdot0,191+6\cdot0,269+8\cdot0,361+10\cdot0,458 = 10,024.
Agora aplico as fórmulas:
m=\frac{6\cdot10,024-30\cdot1,378}{6\cdot220-30^2} =\frac{60,144-41,340}{1320-900} =\frac{18,804}{420} \approx 0,0447714286,
b=\frac{1,378-0,0447714286\cdot30}{6} =\frac{1,378-1,3431428579}{6} =\frac{0,0348571421}{6} \approx 0,0058095238.

Passo 3

Equação da curva de calibração encontrada:
\hat{A}=0,0447714286\;c+0,0058095238.
Na prática, para uma absorbância medida A, a concentração estimada é
c=\frac{A-b}{m}.

Passo 4

Converto cada absorbância da amostra nas respectivas concentrações (faço passo a passo):
Para A_{\text{unk},1}=0,287:
c_1=\frac{0,287-0,0058095238}{0,0447714286} =\frac{0,2811904762}{0,0447714286} \approx 6,2806\\ \mu\mathrm{g}\cdot\mathrm{mL}^{-1}.
Para A_{\text{unk},2}=0,320:
c_2=\frac{0,320-0,0058095238}{0,0447714286} =\frac{0,3141904762}{0,0447714286} \approx 7,0177\\ \mu\mathrm{g}\cdot\mathrm{mL}^{-1}.
Para A_{\text{unk},3}=0,305:
c_3=\frac{0,305-0,0058095238}{0,0447714286} =\frac{0,2991904762}{0,0447714286} \approx 6,6828\\ \mu\mathrm{g}\cdot\mathrm{mL}^{-1}.
(Se fizeres esses cálculos na prova, basta subtrair b da absorbância e dividir por m.)

Passo 5

Agora calculo a média \overline{c} e o desvio padrão amostral s (fórmulas e motivo: com poucas replicatas usamos o desvio padrão amostral):
\overline{c}=\frac{c_1+c_2+c_3}{3} =\frac{6,2806+7,0177+6,6828}{3} \approx 6,6603\\ \mu\mathrm{g}\cdot\mathrm{mL}^{-1}.
Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{3}(c_i-\overline{c})^2}{n-1}}.
Calculo das diferenças e quadrados:
(c_1-\overline{c})\approx -0,3798,\quad (c_1-\overline{c})^2\approx 0,1442,
(c_2-\overline{c})\approx 0,3573,\quad (c_2-\overline{c})^2\approx 0,1277,
(c_3-\overline{c})\approx 0,0225,\quad (c_3-\overline{c})^2\approx 0,0005.
Soma dos quadrados \approx 0,2724. Dividindo por n-1=2 e extraindo raiz:
s\approx\sqrt{\frac{0,2724}{2}}\approx\sqrt{0,1362}\approx 0,369\\ \mu\mathrm{g}\cdot\mathrm{mL}^{-1}.

Passo 6

Arredondando para duas casas decimais (consistente com precisão dos dados), a concentração final da amostra é:
média \overline{c}=6,66\\ \mu\mathrm{g}\cdot\mathrm{mL}^{-1} e desvio padrão s=0,37\\ \mu\mathrm{g}\cdot\mathrm{mL}^{-1}.

Resposta

\overline{c}=6,66\\ \mu\mathrm{g}\cdot\mathrm{mL}^{-1}, s=0,37\\ \mu\mathrm{g}\cdot\mathrm{mL}^{-1}

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