Analise o limite lateral à direita:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x^{7}}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite lateral à direita
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{1}{x^{7}}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x^{7}}.
  • O limite é tomado quando x se aproxima de 0 pela direita (ou seja, por valores x>0 próximos de 0).
  • A pergunta é: qual é o comportamento (valor finito, +\infty, -\infty ou não existe) de f(x) quando x\to0^{+}.

Passo 2

Entender o comportamento de x^{7} quando x\to0^{+}.
  • Para x>0 e pequeno, x^{7} é também positivo e muito pequeno (porque elevar um número menor que 1 a uma potência maior torna-o ainda menor).
  • Em símbolos: se 0<x<1 então 0<x^{7}<x e, em particular, \lim_{x\to0^{+}} x^{7}=0.
    Isto significa que o denominador x^{7} tende a 0 por valores positivos.

Passo 3

Conseqüência para o recíproco \dfrac{1}{x^{7}}.
  • Quando o denominador de uma fração tende a 0 e é positivo, a fração tende a +\infty.
  • Intuição numérica rápida: para x=0{,}1 tem-se \dfrac{1}{x^{7}}=\dfrac{1}{(0{,}1)^{7}}=\dfrac{1}{10^{-7}}=10^{7}. Se x fica mais próximo de 0, o valor aumenta muito mais. Logo a tendência é crescer sem limite positivo.

Passo 4

Prova rigorosa usando definição de limite infinito (controle por M>0).
  • Recordando a definição: dizemos que \lim_{x\to0^{+}} f(x)=+\infty se para todo M>0 existe \delta>0 tal que 0<x<\delta implica f(x)>M.
  • Tomemos um M>0 arbitrário. Defina
\delta = \left(\frac{1}{M}\right)^{1/7}.
  • Se 0<x<\delta, então tomando potências dá x^{7}<\delta^{7}=\dfrac{1}{M}. Invertendo (tudo positivo) obtemos
\frac{1}{x^{7}}>M.
  • Como isso vale para qualquer M>0, pela definição concluímos que
\lim_{x\to0^{+}} \frac{1}{x^{7}} = +\infty.

Passo 5

Observação útil (para a prova): como a potência é ímpar ( 7), se tivéssemos pedido o limite pela esquerda obteríamos -\infty, porque para x<0 pequeno tem-se x^{7}<0 e então \dfrac{1}{x^{7}} é negativo com módulo crescendo sem limite. Mas isso é só um comentário extra — o pedido era apenas pela direita.

Resposta

+\infty