Analise o limite lateral à esquerda:
\lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{1}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede para analisar o limite lateral à esquerda
\lim_{x \to 3^{-}} \frac{1}{x-3}.
Vamos listar claramente o que isso significa e o que temos:
  • A expressão é \dfrac{1}{x-3}.
  • O símbolo \lim_{x\to 3^{-}} significa que x se aproxima de 3 vindo pela esquerda, isto é, por valores x<3 que tendem para 3.
  • A tarefa é determinar o comportamento da fração quando x se aproxima de 3 por valores menores que 3: ela tende a um número real, ou aumenta/decrece sem limite?

Passo 2

Entendendo o conceito de limite lateral: dizer que x\to 3^{-} quer dizer que podemos escrever x=3-h com h>0 e h\to 0^{+}. Isso é útil porque transforma o processo de “chegar por valores menores que 3” numa notação simples com h positivo pequeno.

Passo 3

Faça a substituição sugerida: seja x=3-h com h>0 e h\to 0^{+}. Então a diferença no denominador fica
x-3 = (3-h)-3 = -h.
Substituindo na expressão, obtemos
\frac{1}{x-3}=\frac{1}{-h}=-\frac{1}{h}.

Passo 4

Agora analise o comportamento de -\dfrac{1}{h} quando h\to 0^{+}:
  • Para h positivo e muito pequeno, \dfrac{1}{h} é um número muito grande e positivo.
  • O sinal negativo na frente transforma esse número em um número muito grande em módulo, mas negativo.
  • Portanto, à medida que h se aproxima de 0 por valores positivos, -\dfrac{1}{h} fica cada vez mais negativo — isto é, seu módulo cresce sem limite e o sinal permanece negativo.

Passo 5

Um reforço numérico (sequência): escolha x_n=3-\dfrac{1}{n} com n\in\mathbb{N}. Então x_n\to 3^{-} quando n\to\infty e
\frac{1}{x_n-3}=\frac{1}{-1/n}=-n.
Como n\to\infty, os valores -n vão para -\infty. Isso ilustra concretamente que os valores da função alongam-se indefinidamente no sentido negativo.

Passo 6

Conclusão da análise: ao aproximar x de 3 pela esquerda, a fração \dfrac{1}{x-3} assume valores cada vez mais negativos, sem convergir a nenhum número real finito. Em linguagem de limites, isso significa que a expressão diverge para menos infinito.

Resposta

-\infty