Analise se as séries abaixo convergem ou não indicando o teste usado:
(m) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)(n+2)}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{n!}.
Como os termos são todos positivos, um teste natural é o teste da razão, que diz: se
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1,
então a série converge absolutamente (e portanto converge).

Passo 2

Chamando
a_n = \frac{(n+1)(n+2)}{n!},
calculamos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+2)(n+3)}{(n+1)!}}{\frac{(n+1)(n+2)}{n!}} = \frac{(n+2)(n+3)\,n!}{(n+1)!\,(n+1)(n+2)} = \frac{n+3}{(n+1)^2}.

Passo 3

Agora tomamos o limite da razão quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{n+3}{(n+1)^2} = 0.
Como L=0<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge (por teste da razão).

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