Analise se as séries abaixo convergem ou não indicando o teste usado:
\sum_{n=1}^{\infty} e^{2 n}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} e^{2n}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n^{2}}.
O conteúdo é teste de convergência de séries de termos positivos; vamos usar o teste da raiz.

Passo 2

No teste da raiz, definimos
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} \quad\text{com}\quad a_n = e^{2n}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n^{2}}.
Calculamos
\sqrt[n]{a_n} = e^2 \,\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^n.

Passo 3

Observamos que
\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^n = \Bigl(1+\frac1n\Bigr)^{-n} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\; e^{-1}.
Logo
L = e^2 \cdot e^{-1} = e.

Passo 4

Como L=e>1, o teste da raiz diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da raiz.

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