Analise se as séries abaixo convergem ou não indicando o teste usado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n)^{n}}{(n+1)^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^{n}}{(n+1)^{n}}
e quer saber se ela converge ou não. Como cada termo é uma potência dependente de n, o teste da raiz é apropriado.

Passo 2

Pelo teste da raiz, calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left|\frac{(2n)^{n}}{(n+1)^{n}}\right|} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{\,n+1\,} = 2.

Passo 3

Como L=2>1, o teste da raiz garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da raiz.

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