Analizar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Justificar
Sea el operador identidad i d_{\mathbf{v}}: \mathbf{V} \rightarrow \mathbf{V}, i d_{\mathbf{v}}(\mathbf{v})=\mathbf{v}. Si se adoptan \mathbf{B} y \mathbf{B}^{\prime} bases distintas para el vectorial \mathbf{V} como espacio de partida y de llegada, la matriz \mathbf{M}_{\mathbf{B}^{\prime}}^{\mathbf{B}}\left(i d_{\mathbf{v}}\right)=\mathbf{I}_{n} es la matriz identidad.

Passo 1

O enunciado dá um operador identidade id_{\mathbf{V}}:\mathbf{V}\to\mathbf{V} com id_{\mathbf{V}}(\mathbf{v})=\mathbf{v}. Diz que foram escolhidas duas bases distintas \mathbf{B} (para o espaço de partida) e \mathbf{B}' (para o espaço de chegada) e afirma que a matriz \mathbf{M}_{\mathbf{B}'}^{\mathbf{B}}\big(id_{\mathbf{V}}\big) é a matriz identidade \mathbf{I}_{n}. A pergunta é: essa afirmação é verdadeira ou falsa? Devemos justificar.

Passo 2

Vou lembrar qual é a definição de matriz de um operador linear em bases possivelmente diferentes. Se \mathbf{B}=(\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n) é a base do domínio e \mathbf{B}'=(\mathbf{b}'_1,\dots,\mathbf{b}'_n) é a base do contradomínio, então a matriz \mathbf{M}_{\mathbf{B}'}^{\mathbf{B}}(T) de um operador linear T:\mathbf{V}\to\mathbf{V} é dada construindo colunas assim: a j-ésima coluna é o vetor de coordenadas de T(\mathbf{b}_j) em relação à base \mathbf{B}'. Em notação,
\text{col}_j\big(\mathbf{M}_{\mathbf{B}'}^{\mathbf{B}}(T)\big) = \big[\,T(\mathbf{b}_j)\,\big]_{\mathbf{B}'},
ou seja, \mathbf{M}_{\mathbf{B}'}^{\mathbf{B}}(T) = \big( \,[T(\mathbf{b}_1)]_{\mathbf{B}'}\; \cdots\; [T(\mathbf{b}_n)]_{\mathbf{B}'}\,\big).
Explicando devagar: [\,\mathbf{v}\,]_{\mathbf{B}'} é o vetor coluna com as coordenadas de \mathbf{v} na base \mathbf{B}'. Para montar a matriz, eu aplico T a cada vetor da base do domínio e escrevo o resultado nas coordenadas da base do contradomínio; essas coordenadas formam as colunas.

Passo 3

Agora aplico isso ao caso T=id_{\mathbf{V}}. Para cada j vale id_{\mathbf{V}}(\mathbf{b}_j)=\mathbf{b}_j. Logo a j-ésima coluna de \mathbf{M}_{\mathbf{B}'}^{\mathbf{B}}\big(id_{\mathbf{V}}\big) é
\text{col}_j\big(\mathbf{M}_{\mathbf{B}'}^{\mathbf{B}}(id_{\mathbf{V}})\big) = \big[\,\mathbf{b}_j\,\big]_{\mathbf{B}'}.
Portanto \mathbf{M}_{\mathbf{B}'}^{\mathbf{B}}(id_{\mathbf{V}}) é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores da base \mathbf{B} expressos na base \mathbf{B}'. Em teoria das bases isto é exatamente a matriz de mudança de coordenadas de \mathbf{B} para \mathbf{B}', que costuma ser denotada por P_{\mathbf{B}\to\mathbf{B}'}.

Passo 4

Quando essa matriz vale a identidade \mathbf{I}_n? A matriz identidade tem vetores-coluna iguais aos vetores canônicos \mathbf{e}_1,\dots,\mathbf{e}_n. Assim precisamos que para todo j
\big[\,\mathbf{b}_j\,\big]_{\mathbf{B}'} = \mathbf{e}_j.
Isto significa que o j-ésimo vetor de \mathbf{B}, quando escrito na base \mathbf{B}', tem coordenadas (0,\dots,0,1,0,\dots,0) com o 1 na posição j. Mas essa condição é exatamente a afirmação \mathbf{b}_j=\mathbf{b}'_j para todo j. Portanto a matriz será a identidade se, e somente se, \mathbf{B}=\mathbf{B}' (mesma ordem e mesmos vetores). Em qualquer outro caso a matriz é a matriz de mudança de base, que geralmente não é a identidade.

Passo 5

Vou dar um exemplo concreto para ver que, quando as bases são distintas, a matriz não é a identidade. Tome \mathbf{V}=\mathbb{R}^2. Seja
\mathbf{B}=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2),\quad \text{com }\mathbf{e}_1=(1,0),\\ \mathbf{e}_2=(0,1),
e escolha a base
\mathbf{B}'=(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2),\quad \text{com }\mathbf{f}_1=(1,1),\\ \mathbf{f}_2=(1,0).
Notei que esses \mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2 aparecem na imagem do enunciado? Não — escolhi explicitamente este exemplo para ilustrar.
Agora escrevo \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2 em coordenadas da base \mathbf{B}'. Procuro escalares a,b tais que a\mathbf{f}_1+b\mathbf{f}_2=\mathbf{e}_1. Isso dá
a(1,1)+b(1,0)=(a+b,a)=(1,0).
Daqui obtemos a=0 e b=1, então [\mathbf{e}_1]_{\mathbf{B}'}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Para \mathbf{e}_2 resolvemos a\mathbf{f}_1+b\mathbf{f}_2=\mathbf{e}_2, isto é
(a+b,a)=(0,1),
daqui a=1 e b=-1, então [\mathbf{e}_2]_{\mathbf{B}'}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
Logo
\mathbf{M}_{\mathbf{B}'}^{\mathbf{B}}(id_{\mathbf{V}})=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix},
que claramente não é \mathbf{I}_2=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}. Portanto, com bases distintas, a matriz do operador identidade nem sempre é a identidade.]

Passo 6

Síntese: a matriz \mathbf{M}_{\mathbf{B}'}^{\mathbf{B}}(id_{\mathbf{V}}) é a matriz de mudança de base de \mathbf{B} para \mathbf{B}'. Só é a matriz identidade se as bases coincidirem exatamente ( \mathbf{B}=\mathbf{B}'). Caso contrário, em geral não é a identidade. Então a afirmação do enunciado é falsa.

Resposta

Falsa.

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