Analizar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Justificar
Sea el operador identidad
. Si se adoptan
y
bases distintas para el vectorial
como espacio de partida y de llegada, la matriz
es la matriz identidad.
Sea el operador identidad
Passo 1
O enunciado dá um operador identidade
com
. Diz que foram escolhidas duas bases distintas
(para o espaço de partida) e
(para o espaço de chegada) e afirma que a matriz
é a matriz identidade
. A pergunta é: essa afirmação é verdadeira ou falsa? Devemos justificar.
Passo 2
Vou lembrar qual é a definição de matriz de um operador linear em bases possivelmente diferentes. Se
é a base do domínio e
é a base do contradomínio, então a matriz
de um operador linear
é dada construindo colunas assim: a
-ésima coluna é o vetor de coordenadas de
em relação à base
. Em notação,
ou seja,
.
Explicando devagar:
é o vetor coluna com as coordenadas de
na base
. Para montar a matriz, eu aplico
a cada vetor da base do domínio e escrevo o resultado nas coordenadas da base do contradomínio; essas coordenadas formam as colunas.
Passo 3
Agora aplico isso ao caso
. Para cada
vale
. Logo a
-ésima coluna de
é
Portanto
é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores da base
expressos na base
. Em teoria das bases isto é exatamente a matriz de mudança de coordenadas de
para
, que costuma ser denotada por
.
Passo 4
Quando essa matriz vale a identidade
? A matriz identidade tem vetores-coluna iguais aos vetores canônicos
. Assim precisamos que para todo
Isto significa que o
-ésimo vetor de
, quando escrito na base
, tem coordenadas
com o
na posição
. Mas essa condição é exatamente a afirmação
para todo
. Portanto a matriz será a identidade se, e somente se,
(mesma ordem e mesmos vetores). Em qualquer outro caso a matriz é a matriz de mudança de base, que geralmente não é a identidade.
Passo 5
Vou dar um exemplo concreto para ver que, quando as bases são distintas, a matriz não é a identidade. Tome
. Seja
e escolha a base
Notei que esses
aparecem na imagem do enunciado? Não — escolhi explicitamente este exemplo para ilustrar.
Agora escrevo
e
em coordenadas da base
. Procuro escalares
tais que
. Isso dá
Daqui obtemos
e
, então
.
Para
resolvemos
, isto é
daqui
e
, então
.
Logo
que claramente não é
. Portanto, com bases distintas, a matriz do operador identidade nem sempre é a identidade.]
Passo 6
Síntese: a matriz
é a matriz de mudança de base de
para
. Só é a matriz identidade se as bases coincidirem exatamente (
). Caso contrário, em geral não é a identidade. Então a afirmação do enunciado é falsa.
Resposta
Falsa.