Andrômeda é uma galáxia distante 2,3 \times 10^{6} ano-luz da Via Láctea, a nossa galáxia. Qual a distância aproximada, em quilômetros e em UA, entre as duas galáxias?

Passo 1

O enunciado dá a distância entre a Via Láctea e Andrômeda como 2{,}3\times10^{6} ano-luz e pede a mesma distância expressa em quilômetros e em unidades astronômicas (UA).
Informações relevantes (fornecidas ou que iremos usar):
  • Distância dada: \,D = 2{,}3\times10^{6}\\ \text{ano-luz}.
  • Constantes de conversão que vamos usar:
    • 1\\ \text{ano-luz} \approx 9{,}4607\times10^{12}\\ \text{km}. (distância que a luz percorre em um ano)
    • 1\\ \text{UA} \approx 1{,}495978707\times10^{8}\\ \text{km}. (distância média da Terra ao Sol)
  • O que é pedido:
    1. Converter D para quilômetros.
    2. Converter D para unidades astronômicas (UA).

Passo 2

Breve explicação das unidades e do método (sem pular passos):
  • O ano-luz é uma medida de comprimento: é a distância que a luz percorre em um ano. Para passar de ano-luz para quilômetros, multiplica-se pelo número de quilômetros num ano-luz.
  • A unidade astronômica (UA) também é uma medida de comprimento; para passar de quilômetros para UA divide-se pelo número de quilômetros em uma UA.
    Logo usaremos duas operações simples em notação científica: multiplicação para obter km e divisão (ou multiplicação por um fator) para obter UA.

Passo 3

Converter para quilômetros passo a passo, usando notação científica:
Vamos multiplicar
D_{\text{km}} = \left(2{,}3\times10^{6}\right)\times\left(9{,}4607\times10^{12}\right)\\ \text{km}.
Multiplicando as mantissas e somando os expoentes:
2{,}3\times9{,}4607 = 21{,}75961, \qquad 10^{6}\times10^{12}=10^{18}.
Portanto
D_{\text{km}} = 21{,}75961\times10^{18}\\ \text{km}.
Ajustando para a forma usual em notação científica (uma só casa antes da vírgula):
D_{\text{km}} = 2{,}175961\times10^{19}\\ \text{km}.
Arredondando de forma compatível com os algarismos dados no enunciado (dois algarismos significativos em 2{,}3\times10^{6}), fica razoável apresentar
D_{\text{km}} \approx 2{,}2\times10^{19}\\ \text{km}.

Passo 4

Converter para UA usando duas maneiras (mostrando que dão o mesmo resultado):
Modo A — usar a relação direta entre ano-luz e UA: primeiro calcule quantas UA tem um ano-luz. Fazendo a razão entre os valores em km:
1\\ \text{ano-luz} = \frac{9{,}4607\times10^{12}\\ \text{km}}{1{,}495978707\times10^{8}\\ \text{km/UA}} \approx 63\,241{,}077\\ \text{UA}.
Agora multiplica-se pelo número de anos-luz:
D_{\text{UA}} = \left(2{,}3\times10^{6}\right)\times63\,241{,}077.
Calcule as mantissas:
2{,}3\times63\,241{,}077 \approx 145\,454{,}4771.
Como havia o fator \times10^{6} nos anos-luz,
D_{\text{UA}} \approx 145\,454{,}4771\times10^{6} = 1{,}454544771\times10^{11}\\ \text{UA}.
Arredondando consistentemente (dois algarismos significativos),
D_{\text{UA}} \approx 1{,}5\times10^{11}\\ \text{UA}.
Modo B — dividir o resultado em km direto pela definição de UA:
D_{\text{UA}} = \frac{D_{\text{km}}}{1{,}495978707\times10^{8}\\ \text{km/UA}} = \frac{2{,}175961\times10^{19}}{1{,}495978707\times10^{8}} \approx 1{,}454544771\times10^{11}\\ \text{UA},
o que confirma o valor obtido no Modo A.

Passo 5

Resumo final e observação sobre arredondamento:
  • Valor com maior precisão calculada: \,D_{\text{km}} = 2{,}175961\times10^{19}\\ \text{km} e \,D_{\text{UA}} = 1{,}454544771\times10^{11}\\ \text{UA}.
  • Aproximação compatível com os dados do enunciado (2 algarismos significativos): \,D \approx 2{,}2\times10^{19}\\ \text{km} e \,D \approx 1{,}5\times10^{11}\\ \text{UA}.

Resposta

2{,}2\times10^{19}\\ \text{km}
1{,}5\times10^{11}\\ \text{UA}