O anel C de 2 kg está livre para deslizar ao longo do eixo liso A B. Determine a aceleração do anel C se o anel A está sujeito a uma aceleração de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} para a esquerda. Em todos os casos, o movimento ocorre no plano vertical.

Passo 1

O enunciado diz que o anel C de 2\\ \mathrm{kg} está livre para deslizar ao longo do eixo liso A B e pede para determinar a aceleração do anel C quando o anel A tem aceleração 2\\ \mathrm{m/s^{2}} para a esquerda. O enunciado acrescenta que o movimento ocorre no plano vertical. Informações explícitas dadas:
m_C = 2\\ \mathrm{kg},\qquad a_A = 2\\ \mathrm{m/s^{2}}\\ (\text{para a esquerda}).
Pergunta do problema: encontrar a aceleração de C, isto é, a_C.

Passo 2

Para resolver esse tipo de questão é imprescindível conhecer a figura / configuração geométrica completa: como A, B e C estão conectados (cordas, hastes, polias?), a orientação do eixo AB (horizontal, inclinado?), posições ou comprimentos constantes, e pontos de apoio ou contato. Esses dados determinam a relação geométrica (restrição) entre os deslocamentos de A e C. Sem essa figura ou descrição geométrica, não há como escrever a restrição e, portanto, não existe solução numérica única.

Passo 3

Explico claramente por que a figura é necessária. Em problemas com anéis que se movem e estão ligados por cordas/ hastes, a aceleração de um ponto depende da configuração (por exemplo: se uma corda passa por polia vertical e liga A a C, a relação é diferente do que se A e C estiverem em uma mesma haste rígida). Sem saber:
  • se A e C estão ligados por uma corda inextensível,
  • se há polias e onde estão localizadas,
  • o ângulo do eixo AB,
    não se pode obter uma equação de restrição do tipo f(x_A,x_C)=0 que leva a uma relação entre a_A e a_C. Logo, o problema é indeterminável com os dados fornecidos.

Passo 4

Mesmo sem a figura, vou ensinar passo a passo o método padrão que você deve aplicar quando a figura estiver disponível. Assim, quando você olhar a figura na prova vai saber o que fazer. Primeiro passo do método: definir coordenadas e escrever a restrição geométrica. Exemplo genérico: seja x_A a posição de A e x_C a posição de C medidas ao longo de eixos convenientemente escolhidos; existe uma relação do tipo
F(x_A,x_C)=0.
Essa é a restrição de posição (provém de cordas de comprimento constante, hastes rígidas, etc.).

Passo 5

Segundo passo do método: diferenciar a restrição para obter as relações entre velocidades e entre acelerações. Diferenciando duas vezes no tempo temos, em geral,
\frac{\partial F}{\partial x_A}\,v_A + \frac{\partial F}{\partial x_C}\,v_C = 0
e
\frac{\partial F}{\partial x_A}\,a_A + \frac{\partial F}{\partial x_C}\,a_C + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\left(\frac{\partial F}{\partial x_A}\right)v_A + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\left(\frac{\partial F}{\partial x_C}\right)v_C = 0.
Para muitas configurações simples (corda inextensível sem mudanças de ângulo dependentes do tempo) as derivadas temporais dos coeficientes desaparecem e fica uma relação linear simples entre a_A e a_C, por exemplo
\alpha\,a_A + \beta\,a_C = 0,
onde \alpha e \beta são números que dependem da geometria (ângulos, números de segmentos de corda etc.). A partir daí resolve-se a_C em função de a_A:
a_C = -\frac{\alpha}{\beta}\,a_A.

Passo 6

Terceiro passo do método: usar as leis dinâmicas (segunda lei de Newton) quando necessário. Depois de obter a relação cinemática entre a_A e a_C, você pode precisar aplicar a soma de forças numa direção conveniente para achar uma incógnita adicional (por exemplo, a tensão na corda) ou simplesmente verificar consistência. A segunda lei é
\sum F_{\text{na direção do movimento}} = m\,a,çã
ou seja, projete todas as forças relevantes (peso \,m g, componentes de reação, tensões) na direção tangencial do movimento do anel C e iguale a m_C a_C. Exemplo genérico para um anel deslizando num plano inclinado liso:
m_C g \sin\theta - T = m_C a_C,
onde T é tensão transmitida pela conexão e \theta é o ângulo do eixo. Em paralelamente, escreva a equação para o anel A (se ele tiver massa ou forças aplicadas) e resolva o sistema para a_C e T.

Passo 7

Resumo prático do que você deve checar na hora da prova (checklist):
\text{(i)}\\ \text{Identificar como }A\text{ e }C\text{ estão ligados;}\quad \text{(ii)}\\ \text{Escolher coordenadas }x_A,x_C;\quad \text{(iii)}\\ \text{Escrever }F(x_A,x_C)=0;\quad \text{(iv)}\\ \text{Diferenciar duas vezes para relacionar }a_A\text{ e }a_C;\quad \text{(v)}\\ \text{Aplicar Newton para obter equações adicionais (se necessário).}ãçõá
Com esses passos você monta e resolve o sistema linear para a_C.

Passo 8

Conclusão direta para este enunciado: como a figura ou a descrição geométrica que determina a restrição entre A e C não foi fornecida, não há como escrever explicitamente F(x_A,x_C) nem obter um valor numérico para a_C. Inventar a figura mudaria o problema e poderia levar a respostas diferentes.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a aceleração de C porque o enunciado, tal como foi fornecido, não inclui a figura nem a descrição geométrica necessária (tipo de ligação entre A e C, orientação do eixo AB, presença de polias, comprimentos fixos etc.), sem as quais a relação entre a_A e a_C não pode ser obtida.

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