A coluna de concreto ( E_{c}=25 G P a é reforçada com quatro hastes de aço ( E_{s}=200 \mathrm{GPa} ) cada uma com diâmetro de 18 mm . Determine a força no concreto e no aço se a coluna for submetida a uma força axial de 800 k N.

Passo 1

Entender o que o enunciado dá e pede (peguei a geometria da imagem). Dados fornecidos:
  • Força axial total aplicada: \;P=800\\ \mathrm{kN}.
  • Módulos de elasticidade: \;E_{c}=25\\ \mathrm{GPa} (concreto) e \;E_{s}=200\\ \mathrm{GPa} (aço).
  • Quatro hastes de aço com diâmetro \;d=18\\ \mathrm{mm} (da imagem).
  • A partir da figura observei que a distância do centro às faces é \;300\\ \mathrm{mm}, logo o lado do quadrado da seção é \;600\\ \mathrm{mm} (peguei esse dado da imagem).
    O que se pede:
  • Determinar a força que fica no concreto (total) e a força que fica no aço (total) quando a coluna é carregada por \;P.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • As barras de aço e o concreto estão perfeitamente ligados. Em carregamento axial, isso implica que a deformação axial (a mesma taxa de alongamento por unidade de comprimento) é a mesma em ambos os materiais.
  • Para um corpo elástico submetido a carga axial, a força é F=E\cdot A\cdot \varepsilon, onde \;E é o módulo de elasticidade, \;A é a área da seção e \;\varepsilon é a deformação (toda a seção tem a mesma \varepsilon aqui).
  • Assim, a força em cada material é proporcional ao produto E\cdot A. Somando as contribuições de todos os componentes obtemos P. Portanto a fórmula de partilha é:
F_{i}=\frac{E_{i}A_{i}}{\sum_{j}E_{j}A_{j}}\;P
onde i é o componente (concreto ou aço) e a soma no denominador é feita sobre todos os componentes (concreto + aço).

Passo 3

Área de uma haste de aço (aula rápida sobre área de círculo):
  • A área de um círculo de diâmetro \;d é \;A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}. Aqui d=18\\ \mathrm{mm}.
    Calculemos:
A_{\text{uma haste}}=\frac{\pi (18\\ \mathrm{mm})^{2}}{4}=\frac{\pi\cdot 324}{4}=81\pi\\ \mathrm{mm^{2}}
Usando \pi\approx 3{,}14159265:
A_{\text{uma haste}}\approx 81\cdot 3{,}14159265 \approx 254{,}469\\ \mathrm{mm^{2}}

Passo 4

Área total das quatro hastes de aço:
A_{s}=4\cdot A_{\text{uma haste}}=4\cdot 81\pi =324\pi\\ \mathrm{mm^{2}}
A_{s}\approx 4\cdot 254{,}469 \approx 1\,017{,}876\\ \mathrm{mm^{2}}

Passo 5

Área do concreto (seção quadrada menos a área ocupada pelas barras — expliquei que descontamos as barras porque já as contamos separadamente):
  • Área total da seção externa (quadrado de lado 600\\ \mathrm{mm}):
A_{\text{total}}=600\\ \mathrm{mm}\times 600\\ \mathrm{mm}=360\,000\\ \mathrm{mm^{2}}
  • Área do concreto (subtraindo as áreas das barras):
A_{c}=A_{\text{total}}-A_{s}=360\,000 - 324\pi\\ \mathrm{mm^{2}}
A_{c}\approx 360\,000 - 1\,017{,}876 \approx 358\,982{,}124\\ \mathrm{mm^{2}}

Passo 6

Converter módulos para unidades compatíveis e calcular os produtos E\cdot A (explicação sobre unidades):
  • Em mecânica usamos 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm^{2}} e 1\\ \mathrm{GPa}=1000\\ \mathrm{MPa}=1000\\ \mathrm{N/mm^{2}}. Então:
E_{c}=25\\ \mathrm{GPa}=25\,000\\ \mathrm{N/mm^{2}}
E_{s}=200\\ \mathrm{GPa}=200\,000\\ \mathrm{N/mm^{2}}
  • Agora os produtos:
E_{c}A_{c}=25\,000\cdot 358\,982{,}124\approx 8\,974\,553\,099{,}5\\ \mathrm{N}
E_{s}A_{s}=200\,000\cdot 1\,017{,}876\approx 203\,575\,203{,}8\\ \mathrm{N}
(essas quantidades têm unidade N porque \mathrm{N/mm^{2}}\times \mathrm{mm^{2}}=\mathrm{N}).

Passo 7

Calcular as forças usando a fórmula da partilha (mostrar passo a passo):
  • Força no aço (total):
F_{s}=\frac{E_{s}A_{s}}{E_{c}A_{c}+E_{s}A_{s}}\;P
Substituindo os números (usar P=800\\ \mathrm{kN}=800\,000\\ \mathrm{N}):
F_{s}=\frac{203\,575\,203{,}8}{8\,974\,553\,099{,}5+203\,575\,203{,}8}\cdot 800\,000
F_{s}\approx \frac{203\,575\,203{,}8}{9\,178\,128\,303{,}3}\cdot 800\,000 \approx 17\,750{,}4\\ \mathrm{N}
Convertendo para kN:
F_{s}\approx 17{,}75\\ \mathrm{kN}
  • Força no concreto (total): podemos fazer F_{c}=P-F_{s} ou usar a fórmula direta.
F_{c}=800\,000\\ \mathrm{N}-17\,750{,}4\\ \mathrm{N}\approx 782\,249{,}6\\ \mathrm{N}
Convertendo para kN:
F_{c}\approx 782{,}25\\ \mathrm{kN}

Passo 8

Interpretação final curta e ânimo:
  • Resultado intuitivo: a maior parte da carga é absorvida pelo concreto porque sua área efetiva é muito maior, embora o aço tenha E muito maior; o produto E\cdot A do concreto é dominante. Tá ficando bom — segue firme que você vai dominar isso rapidinho!

Resposta

Força no concreto: 782{,}25\\ \mathrm{kN}
Força no aço (total): 17{,}75\\ \mathrm{kN}

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