Uma antena com impedância de
deve ser casada a uma linha de transmissão sem perdas de
, com um toco curto-circuitado. O comprimento de onda na linha é de
. Determine: (a) a admitância necessária do toco; (b) a distância entre o toco e a antena; (c) o comprimento do toco.
Passo 1
O enunciado pede para casar uma antena de impedância
) a uma linha sem perdas de impedância característica
) usando um toco (stub) curto‑circuitado. O comprimento de onda na linha é
).
Perguntas:
(a) Qual a admitância necessária do toco (no ponto de ligação) — ou seja, que admitância o toco deve apresentar para completar o casamento?
(b) Qual a distância entre o toco e a antena (posição do toco medida a partir da antena)?
(c) Qual o comprimento do toco (stub) curto‑circuitado?
(a) Qual a admitância necessária do toco (no ponto de ligação) — ou seja, que admitância o toco deve apresentar para completar o casamento?
(b) Qual a distância entre o toco e a antena (posição do toco medida a partir da antena)?
(c) Qual o comprimento do toco (stub) curto‑circuitado?
Informações relevantes dadas:
- ) (impedância da antena).
- ) (linha sem perdas).
- Toco curto‑circuitado (o extremo do toco está em curto).
- ) → ).
Passo 2
Primeiro vamos trabalhar com quantidades normalizadas — isso simplifica bastante os cálculos. Definições e razões:
- Normalizamos impedâncias dividindo por ): ).
- Admitância normalizada é
). Se precisar da admitância em si, usamos
) (pois
).
Vamos calcular ) e ).
Cálculos:
Portanto (valores numéricos):
(esses são os valores da admitância normalizada no ponto da antena).
Passo 3
Fórmula para transformar a admitância normalized ao longo de uma linha sem perdas: se
) é a admitância normalizada no término, a admitância normalizada a uma distância
em direção à fonte é
Aqui
). Vamos calcular
:
Passo 4
Critério de casamento com um toco curto‑circuitado (toco em derivação/shunt):
- O objetivo é que a admitância total no ponto onde o toco é ligado seja ), ou em forma normalizada ).
- O toco curto‑circuitado só fornece uma componente susceptiva (ou seja, uma admitância puramente imaginária
em forma normalizada). Assim, para poder anular a parte imaginária e deixar a parte real igual a 1, precisamos escolher uma distância tal que a parte real de seja . Depois adicionamos o toco para anular a parte imaginária restante.
Logo o primeiro passo é resolver
Passo 5
Para resolver
é conveniente colocar
e escrever
em termos de
. Com
,
Dividindo complexos: se
a parte real é
. Aplicando isso aqui, a parte real de
fica
Queremos isso igual a
, logo obtemos a equação escalar em
:
Desenvolvendo e simplificando isso dá uma equação quadrática em
.
Passo 6
Vamos inserir os valores numéricos de
e
e resolver a quadrática. Relembrando:
Inserindo e simplificando (os passos algébricos são os do Passo 5) obtemos a quadrática
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
Isso fornece dois valores:
Passo 7
Agora recuperamos
) por
). Como
é periódica com período
, cada solução de
gera uma família de ângulos
. Tomamos as soluções positivas mais curtas (distâncias pequenas, dentro de
):
Para
:
Para
: a arctangente principal é negativa; somando
obtemos a solução positiva em
:
Observação: ambas as posições são válidas para ligar o toco — são dois pontos ao longo da linha onde a parte real da admitância transformada vale 1. Normalmente escolhe‑se a solução com menor
, mas ambas são soluções corretas.
Passo 8
Para cada posição calculamos a parte imaginária de
(admitância normalizada no ponto do toco). Usamos diretamente a fórmula do Passo 3 com os respectivos
.
Para
(posição
):
Para
(posição
):
Interpretação: no primeiro caso a admitância no ponto tem parte imaginária positiva
; no segundo caso tem parte imaginária negativa
.
Passo 9
O toco curto‑circuitado deve fornecer uma admitância que cancele essa parte imaginária. Ou seja, em admitância normalizada:
Portanto:
- Para
: . Convertendo para admitância em S:
- Para
: , logo
(O sinal indica susceptância indutiva ou capacitiva:
é susceptância indutiva,
é susceptância capacitiva, no sistema de referência usado.)
Passo 10
Agora achamos o comprimento do toco curto‑circuitado. Para um toco curto‑circuitado a admitância normalizada de entrada é
Igualando ao valor necessário
obtemos
Assim, para cada caso:
- Caso
: .
Calculando:
- Caso
: (escolhendo a solução entre e ), então
Também são possíveis comprimentos adicionais somando
a
(o que equivale a somar
ao comprimento do toco); normalmente escolhemos o menor comprimento positivo.
Resposta
(a)
(para
) ou
(para
).
(b) ou
.
(c) (correspondente a
) ou
(correspondente a
).
(b)
(c)