Uma antena com impedância de (800+\mathrm{j} 300) \Omega deve ser casada a uma linha de transmissão sem perdas de 400 \Omega, com um toco curto-circuitado. O comprimento de onda na linha é de 1,50 \mathrm{~m}. Determine: (a) a admitância necessária do toco; (b) a distância entre o toco e a antena; (c) o comprimento do toco.

Passo 1

O enunciado pede para casar uma antena de impedância \(Z_L = (800 + \mathrm{j}\,300)\\ \Omega) a uma linha sem perdas de impedância característica \(Z_0 = 400\\ \Omega) usando um toco (stub) curto‑circuitado. O comprimento de onda na linha é \(\lambda = 1{,}50\\ \mathrm{m}).
Perguntas:
(a) Qual a admitância necessária do toco (no ponto de ligação) — ou seja, que admitância o toco deve apresentar para completar o casamento?
(b) Qual a distância entre o toco e a antena (posição do toco medida a partir da antena)?
(c) Qual o comprimento do toco (stub) curto‑circuitado?
Informações relevantes dadas:
  • \(Z_L = 800 + \mathrm{j}\,300\\ \Omega) (impedância da antena).
  • \(Z_0 = 400\\ \Omega) (linha sem perdas).
  • Toco curto‑circuitado (o extremo do toco está em curto).
  • \(\lambda = 1{,}50\\ \mathrm{m}) → \(\beta = \dfrac{2\pi}{\lambda}).

Passo 2

Primeiro vamos trabalhar com quantidades normalizadas — isso simplifica bastante os cálculos. Definições e razões:
  • Normalizamos impedâncias dividindo por \(Z_0): \(z_L = \dfrac{Z_L}{Z_0}).
  • Admitância normalizada é \(y = 1/z). Se precisar da admitância em si, usamos \(Y = \dfrac{y}{Z_0}) (pois y = Y Z_0).
    Vamos calcular \(z_L) e \(y_L).
Cálculos:
z_L = \dfrac{800 + \mathrm{j}\,300}{400} = 2 + \mathrm{j}\,0{,}75.
y_L = \dfrac{1}{z_L} = \dfrac{1}{2 + \mathrm{j}\,0{,}75} = \dfrac{2 - \mathrm{j}\,0{,}75}{(2)^2 + (0{,}75)^2} = \dfrac{2 - \mathrm{j}\,0{,}75}{4 + 0{,}5625} = \dfrac{2 - \mathrm{j}\,0{,}75}{4{,}5625}.
Portanto (valores numéricos):
y_L = G_L + \mathrm{j}\,B_L, \qquad G_L \approx 0{,}438596491,\qquad B_L \approx -0{,}164347.
(esses são os valores da admitância normalizada no ponto da antena).

Passo 3

Fórmula para transformar a admitância normalized ao longo de uma linha sem perdas: se \(y_L) é a admitância normalizada no término, a admitância normalizada a uma distância d em direção à fonte é
y(d)=\dfrac{y_L + \mathrm{j}\tan(\beta d)}{1 + \mathrm{j}y_L \tan(\beta d)}.
Aqui \(\beta = \dfrac{2\pi}{\lambda}). Vamos calcular \beta:
\beta = \dfrac{2\pi}{1{,}50\\ \mathrm{m}} \approx 4{,}18879\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 4

Critério de casamento com um toco curto‑circuitado (toco em derivação/shunt):
  • O objetivo é que a admitância total no ponto onde o toco é ligado seja \(Y_{\text{total}} = \dfrac{1}{Z_0} = \dfrac{1}{400}\\ \mathrm{S}), ou em forma normalizada \(y_{\text{total}} = 1 + \mathrm{j}\,0).
  • O toco curto‑circuitado só fornece uma componente susceptiva (ou seja, uma admitância puramente imaginária \mathrm{j}b_{\text{toco}} em forma normalizada). Assim, para poder anular a parte imaginária e deixar a parte real igual a 1, precisamos escolher uma distância d tal que a parte real de y(d) seja 1. Depois adicionamos o toco para anular a parte imaginária restante.
    Logo o primeiro passo é resolver
\operatorname{Re}\{y(d)\} = 1.

Passo 5

Para resolver \operatorname{Re}\{y(d)\}=1 é conveniente colocar t=\tan(\beta d) e escrever y(d) em termos de t. Com y_L = G_L + \mathrm{j}B_L,
y(d)=\dfrac{G_L + \mathrm{j}(B_L + t)}{1 - B_L t + \mathrm{j}G_L t}.
Dividindo complexos: se y(d)=\dfrac{a+\mathrm{j}b}{c+\mathrm{j}d} a parte real é \dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}. Aplicando isso aqui, a parte real de y(d) fica
\operatorname{Re}\{y(d)\}=\dfrac{G_L(1+t^2)}{(1 - B_L t)^2 + (G_L t)^2}.
Queremos isso igual a 1, logo obtemos a equação escalar em t:
G_L(1+t^2) = (1 - B_L t)^2 + (G_L t)^2.
Desenvolvendo e simplificando isso dá uma equação quadrática em t.

Passo 6

Vamos inserir os valores numéricos de G_L e B_L e resolver a quadrática. Relembrando:
G_L \approx 0{,}438596491,\qquad B_L \approx -0{,}164347.
Inserindo e simplificando (os passos algébricos são os do Passo 5) obtemos a quadrática
0{,}2192275\,t^2 - 0{,}328694\,t - 0{,}5614035 = 0.
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:
t = \dfrac{0{,}328694 \pm \sqrt{0{,}328694^2 + 4\cdot 0{,}2192275\cdot 0{,}5614035}}{2\cdot 0{,}2192275}.
Isso fornece dois valores:
t_1 \approx 2{,}517,\qquad t_2 \approx -1{,}018.

Passo 7

Agora recuperamos \(\beta d) por \(\beta d = \arctan(t)). Como \tan é periódica com período \pi, cada solução de t gera uma família de ângulos \theta = \arctan(t) + n\pi. Tomamos as soluções positivas mais curtas (distâncias pequenas, dentro de 0\le d < \lambda):
Para t_1 \approx 2{,}517:
\theta_1 = \arctan(2{,}517) \approx 1{,}193\\ \mathrm{rad}, \qquad d_1 = \dfrac{\theta_1}{\beta} \approx \dfrac{1{,}193}{4{,}18879}\approx 0{,}285\\ \mathrm{m}.
Para t_2 \approx -1{,}018: a arctangente principal é negativa; somando \pi obtemos a solução positiva em (0,\lambda):
\theta_2 = \arctan(-1{,}018) + \pi \approx -0{,}794 + \pi \approx 2{,}348\\ \mathrm{rad}, \qquad d_2 = \dfrac{\theta_2}{\beta} \approx \dfrac{2{,}348}{4{,}18879}\approx 0{,}561\\ \mathrm{m}.
Observação: ambas as posições são válidas para ligar o toco — são dois pontos ao longo da linha onde a parte real da admitância transformada vale 1. Normalmente escolhe‑se a solução com menor d, mas ambas são soluções corretas.

Passo 8

Para cada posição calculamos a parte imaginária de y(d) (admitância normalizada no ponto do toco). Usamos diretamente a fórmula do Passo 3 com os respectivos t.
Para t_1 (posição d_1):
\operatorname{Im}\{y(d_1)\} \approx +0{,}8840\quad(\text{normalizado}).
Para t_2 (posição d_2):
\operatorname{Im}\{y(d_2)\} \approx -0{,}8840\quad(\text{normalizado}).
Interpretação: no primeiro caso a admitância no ponto tem parte imaginária positiva (+0{,}8840); no segundo caso tem parte imaginária negativa (-0{,}8840).

Passo 9

O toco curto‑circuitado deve fornecer uma admitância que cancele essa parte imaginária. Ou seja, em admitância normalizada:
y_{\text{toco}} = -\,\mathrm{j}\,\operatorname{Im}\{y(d)\}.
Portanto:
  • Para d_1: y_{\text{toco,norm}} = -\mathrm{j}\,0{,}8840. Convertendo para admitância em S:
Y_{\text{toco}} = \dfrac{y_{\text{toco,norm}}}{Z_0} = \dfrac{-\mathrm{j}\,0{,}8840}{400} \approx -\mathrm{j}\,0{,}00221\\ \mathrm{S}.
  • Para d_2: y_{\text{toco,norm}} = -\mathrm{j}(-0{,}8840)=+\mathrm{j}\,0{,}8840, logo
Y_{\text{toco}} \approx +\mathrm{j}\,0{,}00221\\ \mathrm{S}.
(O sinal indica susceptância indutiva ou capacitiva: +\mathrm{j} é susceptância indutiva, -\mathrm{j} é susceptância capacitiva, no sistema de referência usado.)

Passo 10

Agora achamos o comprimento do toco curto‑circuitado. Para um toco curto‑circuitado a admitância normalizada de entrada é
y_{\text{toco,norm}} = -\mathrm{j}\cot(\beta l_{\text{toco}}).
Igualando ao valor necessário -\mathrm{j}\,\operatorname{Im}\{y(d)\} obtemos
\cot(\beta l_{\text{toco}}) = \operatorname{Im}\{y(d)\}.
Assim, para cada caso:
  • Caso d_1: \cot(\beta l) = 0{,}8840 \Rightarrow \beta l = \operatorname{arccot}(0{,}8840) = \arctan\!\big(\tfrac{1}{0{,}8840}\big).
    Calculando:
\beta l \approx 0{,}848\\ \mathrm{rad},\qquad l \approx \dfrac{0{,}848}{4{,}18879} \approx 0{,}203\\ \mathrm{m}.
  • Caso d_2: \cot(\beta l) = -0{,}8840 \Rightarrow \beta l = \pi - 0{,}848 \approx 2{,}294\\ \mathrm{rad} (escolhendo a solução entre 0 e \pi), então
l \approx \dfrac{2{,}294}{4{,}18879} \approx 0{,}548\\ \mathrm{m}.
Também são possíveis comprimentos adicionais somando n\pi a \beta l (o que equivale a somar n\lambda/2 ao comprimento do toco); normalmente escolhemos o menor comprimento positivo.

Resposta

(a) Y_{\text{toco}} = -\mathrm{j}\,0{,}00221\\ \mathrm{S} (para d=0{,}285\\ \mathrm{m}) ou Y_{\text{toco}} = +\mathrm{j}\,0{,}00221\\ \mathrm{S} (para d=0{,}561\\ \mathrm{m}).
(b) d = 0{,}285\\ \mathrm{m} ou d = 0{,}561\\ \mathrm{m}.
(c) l_{\text{toco}} = 0{,}203\\ \mathrm{m} (correspondente a d=0{,}285\\ \mathrm{m}) ou l_{\text{toco}} = 0{,}548\\ \mathrm{m} (correspondente a d=0{,}561\\ \mathrm{m}).

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