Aplicar o método da separação das variáveis para demonstrar detalhadamente a obtenção do par de EDO que pode ser utilizado para substituir cada uma das EDP dadas, adotando como constante de separação lambda^{2}. NÃO é necessário resolver.
x u_{x x}+u_{y}=0

Passo 1

O enunciado dá a EDP
x\,u_{xx} + u_{y} = 0
e pede para aplicar separação de variáveis. O conteúdo aqui é usar a suposição de solução do tipo produto
u(x,y)=X(x)\,Y(y)
e obter dois EDOs, introduzindo a constante de separação \lambda^{2}.

Passo 2

Suponha
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Então
u_{xx}=X''(x)\,Y(y), \quad u_{y}=X(x)\,Y'(y).

Passo 3

Substituindo na EDP, vem
x\bigl(X''(x)\,Y(y)\bigr) \;+\; X(x)\,Y'(y)=0.
Dividindo por X(x)\,Y(y), obtemos
x\,\frac{X''(x)}{X(x)} \;+\;\frac{Y'(y)}{Y(y)}=0 \quad\Longrightarrow\quad x\,\frac{X''}{X} = -\,\frac{Y'}{Y}.

Passo 4

Como o lado esquerdo depende só de x e o direito só de y, cada um deve ser igual a uma mesma constante. Adotamos
x\,\frac{X''}{X} = \lambda^{2}, \quad -\,\frac{Y'}{Y} = \lambda^{2}.

Passo 5

Reescrevendo cada igualdade como EDOs em X e Y, temos
x\,X''(x) - \lambda^{2}\,X(x) = 0,
Y'(y) + \lambda^{2}\,Y(y) = 0.

Resposta

x\,X''(x) - \lambda^{2}\,X(x) = 0
Y'(y) + \lambda^{2}\,Y(y) = 0

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