Aplicar a regra dos trapézios com
subintervalos. Calcular o limitante do erro.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: aplicar a regra dos trapézios composta com
subintervalos para aproximar
e calcular o limitante (cota superior) do erro dessa aproximação.
Informações dadas e relevantes:
em
,
,
,
.
Não há outras restrições: podemos usar a forma composta da regra dos trapézios e a fórmula padrão do limitante do erro.
Não há outras restrições: podemos usar a forma composta da regra dos trapézios e a fórmula padrão do limitante do erro.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a fórmula da regra dos trapézios composta (para você levar para a prova).
Dividimos o intervalo
em
subintervalos de largura uniforme
, onde
Se
são os nós, a regra dos trapézios composta dá a aproximação
Explicando cada peça:
-
é a largura de cada subintervalo. -
e aparecem com metade do peso porque cada um é usado só em um trapézio “meio”. - Os
para aparecem com peso inteiro porque pertencem a dois trapézios cada.
Agora aplicamos isso ao nosso caso:
,
,
. Calculamos
:
Os nós são
Passo 3
Precisamos dos valores
em cada nó. Vou apresentar primeiro em forma simbólica e depois as aproximações numéricas (úteis para somar):
Simbólico:
Aproximações numéricas (usar uma calculadora para obter estas aproximações; aqui eu dou com precisão suficiente):
Somemos os termos interiores
:
E a média das extremidades:
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula do trapézio composta:
Substituindo os números que já calculamos:
Portanto a aproximação pelo trapézio com
é
.
Passo 5
Para avaliarmos o erro e para comparação, é útil conhecer o valor exato do integral. Vou mostrar como integrar
: usamos integração por partes.
Tomamos
e
. Então
e
. A fórmula dá
Logo, o valor exato do integral definido é
Como
, isto é
Numérico:
Passo 6
Agora a cota (limitante) do erro para a regra dos trapézios composta: existe a fórmula padrão (vou explicar e justificar rapidamente).
Se
tem segunda derivada contínua em
, então o erro da regra dos trapézios composta satisfaz
Aqui
é o erro
. A ideia por trás: o erro local de um trapézio em cada subintervalo é proporcional a
(curvatura) e à largura ao quadrado; ao somar dá o fator
com constante
.
Para
temos
Então
. No intervalo
a função
é decrescente, seu máximo ocorre em
, portanto
Substituindo na fórmula do limite:
Numérico,
Passo 7
Vamos calcular o erro real (apenas para verificar que a cota faz sentido). O valor exato é
e a aproximação
, logo o erro real é
que é menor que a cota
, como esperado.
Conclusão curta: a aproximação e a cota do erro foram obtidas e checadas.