Aplicar a regra dos trapézios com \mathrm{n}=5 subintervalos. Calcular o limitante do erro.
\int_{1}^{5} \log x d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: aplicar a regra dos trapézios composta com n=5 subintervalos para aproximar
\int_{1}^{5} \log x\,dx,
e calcular o limitante (cota superior) do erro dessa aproximação.
Informações dadas e relevantes:
\;f(x)=\log x em [1,5], \;a=1, \;b=5, \;n=5.
Não há outras restrições: podemos usar a forma composta da regra dos trapézios e a fórmula padrão do limitante do erro.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a fórmula da regra dos trapézios composta (para você levar para a prova).
Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos de largura uniforme h, onde
h=\frac{b-a}{n}.
Se x_0=a,\;x_1=a+h,\;\dots,\;x_n=b são os nós, a regra dos trapézios composta dá a aproximação
T_n = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_n)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right).
Explicando cada peça:
  • h é a largura de cada subintervalo.
  • f(x_0) e f(x_n) aparecem com metade do peso porque cada um é usado só em um trapézio “meio”.
  • Os f(x_i) para i=1,\dots,n-1 aparecem com peso inteiro porque pertencem a dois trapézios cada.
Agora aplicamos isso ao nosso caso: a=1, b=5, n=5. Calculamos h:
h=\frac{5-1}{5}=\frac{4}{5}=0,8.
Os nós são
x_0=1,\; x_1=1{,}8,\; x_2=2{,}6,\; x_3=3{,}4,\; x_4=4{,}2,\; x_5=5.

Passo 3

Precisamos dos valores f(x_i)=\log x_i em cada nó. Vou apresentar primeiro em forma simbólica e depois as aproximações numéricas (úteis para somar):
Simbólico:
f(x_0)=\log 1,\; f(x_1)=\log 1{,}8,\; f(x_2)=\log 2{,}6,\; f(x_3)=\log 3{,}4,\; f(x_4)=\log 4{,}2,\; f(x_5)=\log 5.
Aproximações numéricas (usar uma calculadora para obter estas aproximações; aqui eu dou com precisão suficiente):
\begin{aligned} \log 1 &= 0,\\[4pt] \log 1{,}8 &\approx 0{,}5877866649,\\[4pt] \log 2{,}6 &\approx 0{,}9555114450,\\[4pt] \log 3{,}4 &\approx 1{,}2237754316,\\[4pt] \log 4{,}2 &\approx 1{,}4350845253,\\[4pt] \log 5 &\approx 1{,}6094379124. \end{aligned}
Somemos os termos interiores f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4):
0{,}5877866649 + 0{,}9555114450 + 1{,}2237754316 + 1{,}4350845253 \approx 4{,}2021580668.
E a média das extremidades:
\frac{f(x_0)+f(x_5)}{2}=\frac{0 + 1{,}6094379124}{2}\approx 0{,}8047189562.]

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do trapézio composta:
T_5 = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_5)}{2} + \sum_{i=1}^{4} f(x_i)\right).
Substituindo os números que já calculamos:
T_5 = 0{,}8\left(0{,}8047189562 + 4{,}2021580668\right) = 0{,}8\cdot 5{,}0068770230 \approx 4{,}0055016184.
Portanto a aproximação pelo trapézio com n=5 é T_5\approx 4{,}0055016184.

Passo 5

Para avaliarmos o erro e para comparação, é útil conhecer o valor exato do integral. Vou mostrar como integrar \log x: usamos integração por partes.
Tomamos u=\log x e dv=dx. Então du=\dfrac{1}{x}dx e v=x. A fórmula dá
\int \log x\,dx = x\log x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\log x - \int 1\,dx = x\log x - x + C.
Logo, o valor exato do integral definido é
\int_{1}^{5} \log x\,dx = \bigl[x\log x - x\bigr]_{1}^{5} = \bigl(5\log 5 - 5\bigr) - \bigl(1\cdot\log 1 - 1\bigr).
Como \log 1=0, isto é
\int_{1}^{5} \log x\,dx = 5\log 5 - 5 - (0 - 1) = 5\log 5 - 4.
Numérico:
5\log 5 - 4 \approx 5\cdot 1{,}6094379124 - 4 \approx 8{,}0471895620 - 4 = 4{,}0471895620.

Passo 6

Agora a cota (limitante) do erro para a regra dos trapézios composta: existe a fórmula padrão (vou explicar e justificar rapidamente).
Se f tem segunda derivada contínua em [a,b], então o erro da regra dos trapézios composta satisfaz
|E_T| \le \frac{(b-a)^3}{12n^2}\,\max_{x\in[a,b]} |f''(x)|.
Aqui E_T é o erro E_T=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx - T_n. A ideia por trás: o erro local de um trapézio em cada subintervalo é proporcional a f'' (curvatura) e à largura ao quadrado; ao somar dá o fator (b-a)^3/n^2 com constante 1/12.
Para f(x)=\log x temos
f'(x)=\frac{1}{x},\qquad f''(x)=-\frac{1}{x^2}.
Então |f''(x)|=\dfrac{1}{x^2}. No intervalo [1,5] a função 1/x^2 é decrescente, seu máximo ocorre em x=1, portanto
\max_{x\in[1,5]} |f''(x)| = 1.
Substituindo na fórmula do limite:
|E_T| \le \frac{(5-1)^3}{12\cdot 5^2}\cdot 1 = \frac{4^3}{12\cdot 25} = \frac{64}{300} = \frac{16}{75}.
Numérico,
\frac{16}{75}\approx 0{,}213333\ldots

Passo 7

Vamos calcular o erro real (apenas para verificar que a cota faz sentido). O valor exato é 4{,}0471895620 e a aproximação T_5\approx 4{,}0055016184, logo o erro real é
|E_{\text{real}}| \approx |4{,}0471895620 - 4{,}0055016184| \approx 0{,}0416879436,
que é menor que a cota 0{,}213333, como esperado.
Conclusão curta: a aproximação e a cota do erro foram obtidas e checadas.

Resposta

T_5 \approx 4{,}0055016184
|E_T| \le \dfrac{16}{75} \approx 0{,}213333