Aplique o método da posição falsa para resolver a equação
f(x)=x^{3}+4 x^{2}-10
no intervalo [1,2], realizando três iterações.

Passo 1

O enunciado pede aplicar o método da posição falsa (regula falsi) para a função
f(x)=x^{3}+4x^{2}-10
no intervalo [1,2], realizando três iterações.
Informações dadas:
  • Intervalo inicial: a_{0}=1, b_{0}=2.
  • Função: f(x)=x^{3}+4x^{2}-10.
    O objetivo é calcular sucessivos pontos aproximados x_{1},x_{2},x_{3} obtidos pelo método da posição falsa e mostrar como se atualiza o intervalo a cada iteração.

Passo 2

Explicando o método (aulinha rápida e prática). A posição falsa usa a reta que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) e toma a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação do zero. A fórmula é
x_{\text{new}} = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
Aqui:
  • a e b são as extremidades atuais do intervalo que contêm a raiz (ou seja, f(a) e f(b) têm sinais opostos).
  • f(a) é o valor da função em a.
  • f(b) é o valor da função em b.
    Depois de calcular x_{\text{new}} avalia-se f(x_{\text{new}}). Se f(a)\cdot f(x_{\text{new}})<0 então a nova extremidade é b\leftarrow x_{\text{new}}; se f(b)\cdot f(x_{\text{new}})<0 então a\leftarrow x_{\text{new}}. Assim o intervalo vai sendo reduzido mantendo a raiz dentro.

Passo 3

Primeira verificação de sinais nas extremidades iniciais:
f(1)=1^{3}+4\cdot1^{2}-10 = 1+4-10 = -5,
f(2)=2^{3}+4\cdot2^{2}-10 = 8+16-10 = 14.
Como f(1)=-5<0 e f(2)=14>0, há mudança de sinal e a raiz está em [1,2]. Podemos aplicar a posição falsa.

Passo 4

Iteração 1 (a partir de a_{0}=1, b_{0}=2).
Aplicando a fórmula:
x_{1}=2 - 14\cdot\frac{2-1}{14-(-5)} = 2 - \frac{14}{19} = \frac{38-14}{19}=\frac{24}{19}.
Portanto
x_{1}=\frac{24}{19}\approx 1{,}263158.
Agora avaliamos f(x_{1}). Calculando exatamente em frações:
x_{1}^{2}=\frac{576}{361},\qquad x_{1}^{3}=\frac{13824}{6859},
f(x_{1})=x_{1}^{3}+4x_{1}^{2}-10=\frac{13824}{6859}+\frac{43776}{6859}-\frac{68590}{6859}=\frac{-10990}{6859}.
Em decimal:
f(x_{1})\approx -1{,}602274.
Sinal de f(x_{1}) é negativo, assim f(x_{1}) tem o mesmo sinal que f(1). Portanto a nova base do intervalo é
a_{1}=x_{1}=\frac{24}{19},\qquad b_{1}=2.

Passo 5

Iteração 2 (com a_{1}=\tfrac{24}{19}, b_{1}=2).
Usando a fórmula:
x_{2}=2 - f(2)\,\frac{2-a_{1}}{f(2)-f(a_{1})} =2 - 14\cdot\frac{2-\tfrac{24}{19}}{14-(-\tfrac{10990}{6859})}.
Para simplificar a leitura fazemos em decimal (mantendo precisão suficiente para a prova):
2-a_{1}=2-\frac{24}{19}=\frac{14}{19}\approx 0{,}7368421,
f(2)-f(a_{1})=14-(-1{,}602274)\approx 15{,}602274.
Logo
x_{2}=2 - 14\cdot\frac{0{,}7368421}{15{,}602274}\approx 2 - 0{,}661169 \approx 1{,}338831.
Agora avaliamos f(x_{2}) (apenas decimal, passo a passo):
x_{2}^{2}\approx 1{,}792447,\qquad x_{2}^{3}\approx 2{,}399781,
f(x_{2})=x_{2}^{3}+4x_{2}^{2}-10\approx 2{,}399781 + 4\cdot1{,}792447 -10 \approx -0{,}430433.
Como f(x_{2})<0 e f(2)>0, o sinal oposto está entre x_{2} e 2. Atualizamos:
a_{2}=x_{2}\approx 1{,}338831,\qquad b_{2}=2.

Passo 6

Iteração 3 (com a_{2}\approx 1{,}338831, b_{2}=2).
Aplicando a fórmula:
x_{3}=2 - 14\cdot\frac{2-a_{2}}{14-f(a_{2})}.
Calculando os termos:
2-a_{2}\approx 0{,}661169,\qquad 14-f(a_{2})=14-(-0{,}430433)\approx 14{,}430433.
Logo
x_{3}\approx 2 - 14\cdot\frac{0{,}661169}{14{,}430433}\approx 2 - 0{,}641448 \approx 1{,}358552.
Para verificar:
x_{3}^{2}\approx 1{,}845671,\qquad x_{3}^{3}\approx 2{,}507279,
f(x_{3})\approx 2{,}507279 + 4\cdot1{,}845671 -10 \approx -0{,}110037.
O valor de f(x_{3}) ainda é negativo, portanto a raiz continua entre x_{3} e 2, e o procedimento poderia continuar se fosse necessário mais precisão.

Resposta

x_{1}=\dfrac{24}{19}\approx 1{,}263158
x_{2}\approx 1{,}338831
x_{3}\approx 1{,}358552