Aplique a transformada inversa de Laplace (unilateral) para determinar os seguintes sinais no domínio do tempo:
X(s)=\frac{7 s-6}{s^{2}-s-6}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumindo bem claro):
  • Foi fornecido o símbolo de Laplace unilateral X(s)=\frac{7s-6}{s^{2}-s-6}.
  • O que é pedido: encontrar o sinal no domínio do tempo, isto é calcular a transformada inversa unilateral x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}.
  • Observação importante (para a prova): a transformada inversa unilateral fornece o sinal causal (definido para t\ge 0), então a resposta final deve vir multiplicada por u(t) — a função degrau unitário — ou explicitada como válida para t\ge0.

Passo 2

Fatorar o denominador para ver os pólos (isso ajuda muito na decomposição em frações parciais).
  • Temos o polinômio quadrático s^{2}-s-6. Procuro raízes resolvendo s^{2}-s-6=0.
  • Fatorando por inspeção (ou usando fórmula quadrática), obtemos s^{2}-s-6=(s-3)(s+2).
  • Então podemos reescrever X(s)=\frac{7s-6}{(s-3)(s+2)}.

Passo 3

Escolher a técnica: decomposição em frações parciais.
  • Motivação didática: a transformada inversa de termos simples \dfrac{1}{s-a} é conhecida ( \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-a}\}=e^{at}u(t)). Então escrevemos X(s) como soma de termos desse tipo.
  • Proponho a decomposição \frac{7s-6}{(s-3)(s+2)}=\frac{A}{s-3}+\frac{B}{s+2},onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Determinar A e B resolvendo a identidade algébrica.
  • Multiplico ambos os lados por (s-3)(s+2) para obter 7s-6 = A(s+2)+B(s-3).
  • Isso é uma identidade em s; uma maneira direta é comparar coeficientes:
    • Coeficiente de s: A+B=7.
    • Termo constante: 2A-3B=-6.
    • Agora resolvo o sistema: A+B=7, \qquad 2A-3B=-6.
    • Da primeira equação A=7-B. Substituindo na segunda: 2(7-B)-3B=-6 \implies 14-2B-3B=-6 \implies -5B=-20 \implies B=4.
    • Então A=7-B=7-4=3.
  • (Método rápido alternativo que vale decorar: avaliar a identidade em s=3 A=\dfrac{7\cdot3-6}{3+2}=3; em s=-2 B=\dfrac{7(-2)-6}{-2-3}=4. Mesmo resultado.)

Passo 5

Reescrever X(s) com os coeficientes encontrados e aplicar a transformada inversa.
  • Substituindo A e B: X(s)=\frac{3}{s-3}+\frac{4}{s+2}.
  • Lembrando fórmulas básicas da transformada de Laplace unilateral (para sinais causais t\ge0): \mathcal{L}\{e^{at}u(t)\}=\frac{1}{s-a}\quad\text{(para \(\Re(s)>a\))},e a transformada é linear, então constantes saem fora. Portanto \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3}{s-3}\right\}=3e^{3t}u(t), \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{4}{s+2}\right\}=4e^{-2t}u(t).
  • Somando (pela linearidade): x(t)=3e^{3t}u(t)+4e^{-2t}u(t)=(3e^{3t}+4e^{-2t})u(t).

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova para checar erro de sinais):
  • Tomando a transformada direta de x(t)=(3e^{3t}+4e^{-2t})u(t): \mathcal{L}\{3e^{3t}u(t)\}=\frac{3}{s-3},\qquad \mathcal{L}\{4e^{-2t}u(t)\}=\frac{4}{s+2},cuja soma é exatamente \dfrac{3}{s-3}+\dfrac{4}{s+2}=\dfrac{7s-6}{(s-3)(s+2)}, confirmando a resposta.
  • Observação sobre região de convergência: para o sinal causal o ROC é \Re(s)>3 (o pólo mais à direita é s=3).

Resposta

x(t)=(3e^{3t}+4e^{-2t})u(t)

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