Aplique a transformada inversa de Laplace (unilateral) para determinar os seguintes sinais no domínio do tempo:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumindo bem claro):
- Foi fornecido o símbolo de Laplace unilateral
- O que é pedido: encontrar o sinal no domínio do tempo, isto é calcular a transformada inversa unilateral
. - Observação importante (para a prova): a transformada inversa unilateral fornece o sinal causal (definido para
), então a resposta final deve vir multiplicada por — a função degrau unitário — ou explicitada como válida para .
Passo 2
Fatorar o denominador para ver os pólos (isso ajuda muito na decomposição em frações parciais).
- Temos o polinômio quadrático
. Procuro raízes resolvendo - Fatorando por inspeção (ou usando fórmula quadrática), obtemos
- Então podemos reescrever
Passo 3
Escolher a técnica: decomposição em frações parciais.
- Motivação didática: a transformada inversa de termos simples
é conhecida ( ). Então escrevemos como soma de termos desse tipo. - Proponho a decomposição
onde e são constantes a determinar.
Passo 4
Determinar
e
resolvendo a identidade algébrica.
- Multiplico ambos os lados por
para obter - Isso é uma identidade em
; uma maneira direta é comparar coeficientes: - Coeficiente de
: . - Termo constante:
. - Agora resolvo o sistema:
- Da primeira equação
. Substituindo na segunda: - Então
.
- Coeficiente de
- (Método rápido alternativo que vale decorar: avaliar a identidade em
dá ; em dá . Mesmo resultado.)
Passo 5
Reescrever
com os coeficientes encontrados e aplicar a transformada inversa.
- Substituindo
e : - Lembrando fórmulas básicas da transformada de Laplace unilateral (para sinais causais
): e a transformada é linear, então constantes saem fora. Portanto - Somando (pela linearidade):
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova para checar erro de sinais):
- Tomando a transformada direta de
: cuja soma é exatamente , confirmando a resposta. - Observação sobre região de convergência: para o sinal causal o ROC é
(o pólo mais à direita é ).