Encontre a resposta total \mathrm{y}(\mathrm{t}), a resposta ao estado nulo y_{e}(t) e a resposta de entrada zero y_{0}(t) dos sistemas descritos pelas seguintes equações diferenciais: \left(D^{2}+4 D+4\right) y(t)=(D+1) x(t)
para x(t)=e^{-t} u(t) e condições iniciais y(0)=2 e y^{\prime}(0)=1.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos (vou listar com calma para não nos perder):
A resposta ao estado nulo \;y_{e}(t) (ou seja, resposta com condições iniciais nulas — também chamada de zero-state response).
A resposta de entrada zero \;y_{0}(t) (ou seja, resposta quando a entrada é zero e apenas as condições iniciais atuam — zero-input response).
Passo 2
Plano e escolha do método (explicando por que faço assim):
Vou usar transformada de Laplace e função de transferência para obter facilmente a resposta ao estado nulo \;y_e(t). Isso é prático porque permite multiplicar H(s) por X(s) e muitas vezes ocorre cancelamento simples.
Depois, com \;y_e(t) em mãos, calculo suas condições iniciais em t=0. Como a resposta total tem de satisfazer as condições iniciais dadas, determino as condições iniciais que a resposta de entrada zero \;y_0(t) deve ter (subtraindo as contribuições de \;y_e). Em seguida resolvo a equação homogênea para \;y_0(t).
Finalmente somo \;y_0(t)+y_e(t) para obter \;y(t).
Observação: esse procedimento garante que a soma respeite exatamente y(0) e y'(0).
Passo 3
Função de transferência (transformada de Laplace com condições iniciais nulas):
Se aplicarmos Laplace com condições iniciais nulas, obtemos a relação
Y(s)\big|_{\text{CI}=0}=H(s)\,X(s),
onde
H(s)=\frac{s+1}{s^{2}+4s+4}.
Factorizando o denominador:
s^{2}+4s+4=(s+2)^{2},
portanto
H(s)=\frac{s+1}{(s+2)^{2}}.
Passo 4
Transformada da entrada:
A entrada é x(t)=e^{-t}u(t). A transformada de Laplace de e^{-at}u(t) é \dfrac{1}{s+a} (válida para \Re(s)>-a).
Aqui a=1, logo
X(s)=\frac{1}{s+1}.
Passo 5
Cálculo da resposta ao estado nulo \;y_e(t) (zero-state):
No domínio de Laplace, com condições iniciais nulas,