Encontre a resposta total
\mathrm{y}(\mathrm{t}), a resposta ao estado nulo y_{e}(t) e a resposta de entrada zero y_{0}(t) dos sistemas descritos pelas seguintes equações diferenciais:
\left(D^{2}+4 D+4\right) y(t)=(D+1) x(t)
para x(t)=e^{-t} u(t) e condições iniciais y(0)=2 e y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (vou listar com calma para não nos perder):
  • Equação diferencial dada: \left(D^{2}+4 D+4\right) y(t)=(D+1) x(t).
  • Entrada: x(t)=e^{-t}u(t).
  • Condições iniciais: y(0)=2 e y'(0)=1.
  • Precisamos encontrar:
    1. A resposta total \;y(t).
    2. A resposta ao estado nulo \;y_{e}(t) (ou seja, resposta com condições iniciais nulas — também chamada de zero-state response).
    3. A resposta de entrada zero \;y_{0}(t) (ou seja, resposta quando a entrada é zero e apenas as condições iniciais atuam — zero-input response).

Passo 2

Plano e escolha do método (explicando por que faço assim):
  • Vou usar transformada de Laplace e função de transferência para obter facilmente a resposta ao estado nulo \;y_e(t). Isso é prático porque permite multiplicar H(s) por X(s) e muitas vezes ocorre cancelamento simples.
  • Depois, com \;y_e(t) em mãos, calculo suas condições iniciais em t=0. Como a resposta total tem de satisfazer as condições iniciais dadas, determino as condições iniciais que a resposta de entrada zero \;y_0(t) deve ter (subtraindo as contribuições de \;y_e). Em seguida resolvo a equação homogênea para \;y_0(t).
  • Finalmente somo \;y_0(t)+y_e(t) para obter \;y(t).
    Observação: esse procedimento garante que a soma respeite exatamente y(0) e y'(0).

Passo 3

Função de transferência (transformada de Laplace com condições iniciais nulas):
  • Se aplicarmos Laplace com condições iniciais nulas, obtemos a relação
Y(s)\big|_{\text{CI}=0}=H(s)\,X(s),
onde
H(s)=\frac{s+1}{s^{2}+4s+4}.
  • Factorizando o denominador:
s^{2}+4s+4=(s+2)^{2},
portanto
H(s)=\frac{s+1}{(s+2)^{2}}.

Passo 4

Transformada da entrada:
  • A entrada é x(t)=e^{-t}u(t). A transformada de Laplace de e^{-at}u(t) é \dfrac{1}{s+a} (válida para \Re(s)>-a).
  • Aqui a=1, logo
X(s)=\frac{1}{s+1}.

Passo 5

Cálculo da resposta ao estado nulo \;y_e(t) (zero-state):
  • No domínio de Laplace, com condições iniciais nulas,
Y_e(s)=H(s)\,X(s)=\frac{s+1}{(s+2)^{2}}\cdot\frac{1}{s+1}=\frac{1}{(s+2)^{2}}.
  • A transformada inversa de \dfrac{1}{(s+a)^{2}} é t e^{-a t}u(t). Portanto, com a=2,
y_{e}(t)=t e^{-2t}u(t).

Passo 6

Condições iniciais da resposta ao estado nulo (para ajustar a resposta de entrada zero):
  • Avaliando em t=0:
y_{e}(0)=0.
  • Derivando \;y_{e}(t):
y_{e}'(t)=\frac{d}{dt}\big(t e^{-2t}\big)=e^{-2t}-2t e^{-2t}=e^{-2t}(1-2t).
Logo
y_{e}'(0)=1.

Passo 7

Determinar as condições iniciais que a resposta de entrada zero \;y_{0}(t) deve satisfazer:
  • Como y(t)=y_{0}(t)+y_{e}(t) e sabemos y(0)=2, y'(0)=1, obtemos
y_{0}(0)=y(0)-y_{e}(0)=2-0=2,
y_{0}'(0)=y'(0)-y_{e}'(0)=1-1=0.
Portanto a solução homogênea deve satisfazer y_{0}(0)=2 e y_{0}'(0)=0.

Passo 8

Resolver a equação homogênea para obter \;y_{0}(t) (zero-input):
  • A equação homogênea é
\left(D^{2}+4D+4\right)y_{0}(t)=0.
  • A equação característica é
r^{2}+4r+4=0 \quad\Rightarrow\quad (r+2)^{2}=0,
portanto há uma raiz dupla r=-2.
  • A solução geral da homogênea é
y_{0}(t)=\big(C_{1}+C_{2}t\big)e^{-2t}.
  • Aplicamos as condições iniciais:
    • y_{0}(0)=C_{1}=2.
    • Derivando:
    y_{0}'(t)=\big(C_{2}-2C_{1}-2C_{2}t\big)e^{-2t},então em t=0: y_{0}'(0)=C_{2}-2C_{1}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=2C_{1}=4.
  • Assim
y_{0}(t)=\big(2+4t\big)e^{-2t} \, u(t).

Passo 9

Resposta total \;y(t) somando zero-input e zero-state:
  • Somando as duas partes:
y(t)=y_{0}(t)+y_{e}(t)=\big(2+4t\big)e^{-2t}+t e^{-2t}=\big(2+5t\big)e^{-2t}\,u(t).
  • Verificação rápida dos valores iniciais:
    • y(0)=(2+0)\cdot1=2 conforme dado;
    • y'(t)=\big(5-2(2+5t)\big)e^{-2t}=\big(1-10t\big)e^{-2t}, então y'(0)=1 conforme dado.

Resposta

y(t)=\big(2+5t\big)e^{-2t}u(t)
y_{e}(t)=t e^{-2t}u(t)
y_{0}(t)=\big(2+4t\big)e^{-2t}u(t)

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