) Após a queima a 1.150^{\circ} \mathrm{C} / 2 \mathrm{~h} de 10 corpos de prova de uma determinada matéria prima, foi medida a densidade dos corpos pelo principio de Arquimedes e foram obtidos os seguintes valores: 2.720 ; 2.780 ; 2.700 ; 2.730 ; 2.680 ; 2.740 ; 2.690 ; 2.714; 2.705 e 2.725 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. (a) Analisando estes resultados, qual é o valor que melhor representa a densidade de corpos de prova desta matéria-prima após a queima na referida temperatura? (b) Considendos utilizando-se o mesmo proced no laboratório de materiais cerâmicos do DEMa/UFSCar (i.e., planual e queima em mufla), como você explicaria a variabilidade nos resultados de densidade obtidos?

Passo 1

O enunciado fornece as densidades medidas de 10 corpos de prova, obtidas pelo princípio de Arquimedes após queima a 1.150^\circ\mathrm{C}/2\\ \mathrm{h}. Os valores medidos são:
2{,}720,\\\ 2{,}780,\\\ 2{,}700,\\\ 2{,}730,\\\ 2{,}680,\\\ 2{,}740,\\\ 2{,}690,\\\ 2{,}714,\\\ 2{,}705,\\\ 2{,}725\quad(\mathrm{g/cm^3}).
As perguntas do enunciado são:
(a) Qual é o valor que melhor representa a densidade desses corpos de prova após a queima?
(b) Considerando que o procedimento foi o mesmo (pesagem e queima em mufla) no laboratório, como explicar a variabilidade observada entre essas medidas?

Passo 2

Decisão do método para (a) — qual medida reportar e por quê.
Quando se tem várias medições independentes da mesma grandeza, o estimador mais informado do valor “verdadeiro” é a média amostral. A média combina todas as medições e reduz o efeito de pequenas flutuações aleatórias. Vou calcular a média amostral e também quantificar a dispersão (desvio-padrão amostral) e a incerteza da média (erro padrão), para que a resposta venha acompanhada de uma medida de confiança.
Fórmula da média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o número de medidas e x_i cada medida. Aqui n=10.
Agora faço a soma explícita (usando os valores dados):
\sum_{i=1}^{10} x_i = 2{,}720+2{,}780+2{,}700+2{,}730+2{,}680+2{,}740+2{,}690+2{,}714+2{,}705+2{,}725=27{,}184.
Logo a média é
\bar{x}=\frac{27{,}184}{10}=2{,}7184\\ \mathrm{g/cm^3}.

Passo 3

Cálculo do desvio-padrão amostral (medida da dispersão entre as medições) e explicação da fórmula.
Fórmula do desvio-padrão amostral:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i-\bar{x}\bigr)^2},
onde s é o desvio-padrão amostral, x_i cada medida e \bar{x} a média amostral já calculada.
Vou calcular as diferenças x_i-\bar{x} e os quadrados (mostro os valores com 4 casas decimais na média e 7 casas decimais nos quadrados para transparência):
Diferenças e quadrados:
\begin{aligned} 2{,}720-\bar{x}&=0{,}0016,\quad &(0{,}0016)^2&=0{,}00000256,\\\\ 2{,}780-\bar{x}&=0{,}0616,\quad &(0{,}0616)^2&=0{,}00379456,\\\\ 2{,}700-\bar{x}&=-0{,}0184,\quad &(-0{,}0184)^2&=0{,}00033856,\\\\ 2{,}730-\bar{x}&=0{,}0116,\quad &(0{,}0116)^2&=0{,}00013456,\\\\ 2{,}680-\bar{x}&=-0{,}0384,\quad &(-0{,}0384)^2&=0{,}00147456,\\\\ 2{,}740-\bar{x}&=0{,}0216,\quad &(0{,}0216)^2&=0{,}00046656,\\\\ 2{,}690-\bar{x}&=-0{,}0284,\quad &(-0{,}0284)^2&=0{,}00080656,\\\\ 2{,}714-\bar{x}&=-0{,}0044,\quad &(-0{,}0044)^2&=0{,}00001936,\\\\ 2{,}705-\bar{x}&=-0{,}0134,\quad &(-0{,}0134)^2&=0{,}00017956,\\\\ 2{,}725-\bar{x}&=0{,}0066,\quad &(0{,}0066)^2&=0{,}00004356. \end{aligned}
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2 = 0{,}0072604.
Aplicando a fórmula do desvio-padrão:
s=\sqrt{\frac{0{,}0072604}{10-1}}=\sqrt{0{,}000806711\ldots}\approx 0{,}02841\\ \mathrm{g/cm^3}.
Interpretação rápida: a dispersão típica entre medições é cerca de 0{,}028\\ \mathrm{g/cm^3}.

Passo 4

Cálculo da incerteza da média (erro padrão) e intervalo de confiança de 95% — explico o que são e por que usar.
O erro padrão da média (SE) quantifica a incerteza da estimativa da média devido à dispersão das medidas e ao número finito de repetições:
\mathrm{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Aqui
\mathrm{SE}=\frac{0{,}02841}{\sqrt{10}}=\frac{0{,}02841}{3{,}1623}\approx 0{,}00899\\ \mathrm{g/cm^3}\approx 0{,}0090\\ \mathrm{g/cm^3}.
Se quisermos um intervalo de confiança de 95\% para a média, usamos o fator t de Student para n-1=9 graus de liberdade. Aproximadamente t_{9,0{,}975}=2{,}262. Assim o semi-amplitude do IC95% é
\Delta_{95\%}=t\cdot\mathrm{SE}=2{,}262\times 0{,}00899\approx 0{,}0203\\ \mathrm{g/cm^3}.
Portanto o intervalo de confiança de 95\% para a média é
\bar{x}\pm \Delta_{95\%}=2{,}7184\pm 0{,}0203\\ \mathrm{g/cm^3}.

Passo 5

Verificação de robustez: mediana e presença de outliers.
Ordenando os dados:
2{,}680,\\\ 2{,}690,\\\ 2{,}700,\\\ 2{,}705,\\\ 2{,}714,\\\ 2{,}720,\\\ 2{,}725,\\\ 2{,}730,\\\ 2{,}740,\\\ 2{,}780.
A mediana (média dos 5.º e 6.º valores) é
\mathrm{mediana}=\frac{2{,}714+2{,}720}{2}=2{,}717\\ \mathrm{g/cm^3}.
Como a mediana 2{,}717 é muito próxima da média 2{,}7184, não há indicação forte de outlier extremo; a dispersão encontrada é compatível com variação experimental moderada.

Passo 6

Qual valor reportar na prática e por quê (resumo para a resposta do item a).
Recomendação prática: reportar a média amostral como melhor estimativa do valor da densidade, acompanhada da incerteza. Duas formas úteis:
  • Erro padrão (representa a incerteza da média): \bar{x}=2{,}7184\pm 0{,}0090\\ \mathrm{g/cm^3} (erro padrão).
  • Intervalo de confiança de 95\%: \bar{x}=2{,}7184\pm 0{,}0203\\ \mathrm{g/cm^3}.
    Se for necessário um único número sem incerteza, tomar \,2{,}718\\ \mathrm{g/cm^3} (com 3 casas significativas) é aceitável, mas sempre prefira fornecer a incerteza.

Passo 7

Resposta para (b): explicação didática e prática sobre por que há variabilidade nas densidades medidas. Vou listar as causas mais prováveis e explicar cada uma de forma simples (com sugestões de como reduzir o efeito na prática):
  1. Heterogeneidade da matéria-prima e microestrutura
    • Mesmo com mesma receita e queima, amostras diferentes podem ter microestruturas (tamanho de grão, distribuição de fases, concentração local de poros) ligeiramente diferentes. Isso altera a porosidade e, portanto, a densidade final.
    • Como reduzir: homogeneizar melhor a pasta/massa antes de prensar/modelar; preparar mais amostras e usar média.
  2. Variação na porosidade (aberta vs. fechada) e infiltração de água no método de Arquimedes
    • O método de Arquimedes mede massa aparente na água; se a porosidade aberta não foi totalmente saturada (ou se há bolhas de ar presas), a leitura fica enviesada. Poros fechados não se enchem de água e alteram a relação massa/volume aparente.
    • Como reduzir: antes da medição, saturar as amostras em água usando vácuo ou ebulição, usar detergente molhante para eliminar bolhas, repetir a saturação de forma padronizada.
  3. Bolhas de ar aderidas à superfície e molhabilidade da amostra
    • Quando a amostra é submersa, bolhas aderidas diminuem a perda aparente de peso (afetam a leitura de empuxo). Superfícies rugosas fixam bolhas com facilidade.
    • Como reduzir: usar agente molhante, agitação controlada ao submergir, escovar levemente, ou submergir sob vácuo.
  4. Erros instrumentais e pesagens (calibração da balança, resolução)
    • Balança descalibrada, ruído na leitura, ou resolução insuficiente aumentam a variabilidade.
    • Como reduzir: calibrar a balança com padrões, usar balança de precisão adequada, medir repetidas vezes e estabilizar a temperatura ambiente.
  5. Variações no processo de queima (gradientes de temperatura na mufla, posicionamento das amostras)
    • Pequenas diferenças de temperatura efetiva ou tempo de permanência dentro da mufla causam diferenças no sinteramento e na contração, afetando densidade.
    • Como reduzir: posicionar amostras consistentemente, usar cadinhos/tiras separadoras, verificar uniformidade da mufla.
  6. Perdas materiais e manipulação (micro-fragmentação ou absorção/evaporação)
    • Manuseio pode causar remoção de material, adesão de poeira ou absorção superficial de água antes da pesagem.
    • Como reduzir: manusear com pinças limpas, secar as amostras antes da pesagem a seco, padronizar o tempo entre retirada da mufla e pesagem.
  7. Temperatura da água e correção da densidade do líquido
    • A densidade da água depende da temperatura; se isso não for considerado, há pequeno erro sistemático.
    • Como reduzir: medir a temperatura da água e usar o valor de densidade correspondente ou trabalhar em temperatura controlada.
  8. Tamanho/forma geométrica e erros de posicionamento no banho (erro de empuxo por deslocamento não ideal)
    • Amostras com formas irregulares podem deslocar a água de maneira que dificulte medições repetidas idênticas.
    • Como reduzir: usar suportes padronizados para suspender as amostras, medir várias vezes e fazer média.
Resumo prático: a variabilidade que se vê é compatível com variações combinadas de porosidade entre amostras, imprecisão no preenchimento de poros abertos durante o método de Arquimedes, diferenças locais de queima e erros experimentais (bolhas, calibração, manipulação). Seguir procedimentos padronizados (saturação por vácuo/ebulição, molhante, calibração, mais réplicas) reduz a variabilidade e melhora a confiança no valor reportado.

Resposta

(a) \,2{,}7184\\ \mathrm{g/cm^3} (média amostral); erro padrão da média \mathrm{SE}=0{,}0090\\ \mathrm{g/cm^3}; IC 95\%: 2{,}7184\pm 0{,}0203\\ \mathrm{g/cm^3}.
(b) Variabilidade causada por: heterogeneidade microestrutural e variação de porosidade entre amostras; porosidade aberta/fechada e saturação incompleta no método de Arquimedes; bolhas de ar/ruído de empuxo; erros de pesagem (calibração, resolução); variações locais no processo de queima (gradientes de temperatura, posicionamento); manipulação e temperatura da água.

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