Apresentam-se abaixo os resultados de um ensaio de cisalhamento direto realizado sobre uma mesma areia com peso específico de 20 kN / m^3. Determine a envoltória de resistência da areia e complete o quadro abaixo.
Ensaio 1 2 3 4 5
sigma(kN / m^2) 24 31 54 66 100
tau(kN / m^2) 17,5 28 64

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiramente, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos os resultados de cinco ensaios de cisalhamento direto em uma areia que tem um peso específico de 20 , kN/m^3. A tabela mostra as tensões normais ( sigma) e as tensões de cisalhamento ( tau) para alguns desses ensaios, mas faltam algumas informações na coluna de tau. Nosso objetivo é determinar a envoltória de resistência da areia e completar os valores faltantes na tabela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre resistência ao cisalhamento e como plotar esses dados para encontrar a relação entre sigma e tau.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a resistência ao cisalhamento. Em solos, a resistência ao cisalhamento é a capacidade do solo de resistir ao movimento ou deformação sob uma força paralela à sua superfície. Essa resistência é crucial para a estabilidade de estruturas como fundações, taludes e muros de contenção.
A relação entre a tensão normal ( sigma) e a tensão de cisalhamento ( tau) é geralmente representada pela equação de Mohr-Coulomb:
tau = c + sigma cdot tan(phi)
Onde:
  • c é a coesão do solo,
  • phi é o ângulo de atrito interno.
No nosso caso, vamos usar os dados fornecidos para traçar essa relação e encontrar a envoltória de resistência, ou seja, a linha que representa o maior tau para cada sigma.

Passo 3

Vamos organizar os dados que temos:
Ensaio 1 2 3 4 5
sigma,(kN/m^2) 24 31 54 66 100
tau,(kN/m^2) 17,5 28 64
Observamos que faltam os valores de tau nos ensaios 2 e 4. Para encontrar esses valores, vamos supor que a relação entre sigma e tau seja linear, conforme a equação de Mohr-Coulomb mencionada.

Passo 4

Vamos plotar os pontos que já temos:
  • Ensaio 1: (24, 17,5)
  • Ensaio 3: (54, 28)
  • Ensaio 5: (100, 64)
Ao traçar esses pontos em um gráfico com sigma no eixo x e tau no eixo y, podemos tentar ajustar uma linha que passe por eles para determinar a envoltória de resistência.

Passo 5

Para encontrar a equação da linha que melhor se ajusta aos pontos, podemos calcular o coeficiente angular ( m = tan(phi)) e o coeficiente linear ( c) usando dois pontos quaisquer da tabela. Vamos usar, por exemplo, os ensaios 1 e 5:
m = 64 - 17,5100 - 24 = 46,576 approx 0,6118
c = tau - m cdot sigma usando o ensaio 1:
17,5 = 0,6118 cdot 24 + c implies c = 17,5 - 14,684 approx 2,816 , kN/m^2
Então, a equação da envoltória de resistência é aproximadamente:
tau = 0,6118 cdot sigma + 2,816

Passo 6

Agora, vamos usar essa equação para encontrar os valores faltantes de tau nos ensaios 2 e 4.
Para o ensaio 2 ( sigma = 31 , kN/m^2):
tau = 0,6118 cdot 31 + 2,816 approx 18,9638 + 2,816 approx 21,78 , kN/m^2
Para o ensaio 4 ( sigma = 66 , kN/m^2):
tau = 0,6118 cdot 66 + 2,816 approx 40,3668 + 2,816 approx 43,18 , kN/m^2

Passo 7

Agora, vamos completar a tabela com os valores encontrados:
Ensaio 1 2 3 4 5
sigma,(kN/m^2) 24 31 54 66 100
tau,(kN/m^2) 17,5 21,78 28 43,18 64

Resposta

A envoltória de resistência da areia é dada pela equação tau = 0,6118 cdot sigma + 2,816. Com isso, a tabela completa fica assim:
Ensaio 1 2 3 4 5
sigma,(kN/m^2) 24 31 54 66 100
tau,(kN/m^2) 17,5 21,78 28 43,18 64

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