Apresente a função de probabilidade para as seguintes variáveis aleatórias:
Número de peças com defeito em uma amostra de três peças, sorteadas aleatoriamente de um grande lote, em que 40% das peças são defeituosas.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se a função de probabilidade (PMF) da variável aleatória que conta o número de peças com defeito numa amostra de três peças.
  • Informações fornecidas:
    • Tamanho da amostra: n=3.
    • Proporção (probabilidade) de peças defeituosas no lote: p=0,4.
    • A amostragem é aleatória e o lote é grande (isso é relevante para as hipóteses do modelo).
  • A variável aleatória X é o número de peças defeituosas na amostra, logo os possíveis valores são k=0,1,2,3.

Passo 2

Por que podemos usar um modelo com probabilidade fixa por peça:
  • O lote é grande, então ao sortear três peças a probabilidade de uma peça ser defeituosa praticamente não muda dependendo das outras retiradas; isso permite tratar as observações como independentes e com mesma probabilidade de “sucesso” (defeito).
  • Quando cada ensaio (cada peça) é independente e tem mesma probabilidade p de sucesso, o número de sucessos em n ensaios segue a distribuição binomial. Vou explicar essa distribuição em detalhes no próximo passo.

Passo 3

Definição e fórmula da distribuição binomial (aula rápida):
  • A distribuição binomial modela o número de sucessos em n ensaios independentes, cada um com probabilidade p de sucesso.
  • Variáveis:
    • n: número de ensaios (aqui n=3).
    • k: número de sucessos (aquilo que X pode assumir).
    • p: probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui p=0,4).
    • 1-p: probabilidade de fracasso (aqui 1-p=0,6).
  • Fórmula da função de probabilidade (PMF):
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais k ensaios, entre n, serão sucessos).
  • Interpretação do coeficiente \binom{n}{k}: ele conta as diferentes posições das k peças defeituosas entre as n peças. Por exemplo, com n=3 e k=1 \binom{3}{1}=3 maneiras de ter exatamente uma peça defeituosa (defeito na 1ª, ou na 2ª, ou na 3ª).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso ( n=3, p=0,4):
  • Substituindo na fórmula obtemos a expressão geral para cada k\in\{0,1,2,3\}:
P(X=k)=\binom{3}{k}\,(0,4)^{k}\,(0,6)^{3-k},\qquad k=0,1,2,3.

Passo 5

Cálculo passo a passo das probabilidades numéricas:
  • Primeiro, os coeficientes binomiais:
    • \binom{3}{0}=1.
    • \binom{3}{1}=3.
    • \binom{3}{2}=3.
    • \binom{3}{3}=1.
  • Agora cada probabilidade:
    • Para k=0:
    P(X=0)=\binom{3}{0}(0,4)^{0}(0,6)^{3}=1\cdot 1 \cdot (0,6)^{3}.Calcule (0,6)^{2}=0,36 e (0,6)^{3}=0,36\cdot0,6=0,216. Logo P(X=0)=0,216.
    • Para k=1:
    P(X=1)=\binom{3}{1}(0,4)^{1}(0,6)^{2}=3\cdot 0,4 \cdot 0,36.Calcule 0,4\cdot0,36=0,144 e 3\cdot0,144=0,432. Logo P(X=1)=0,432.
    • Para k=2:
    P(X=2)=\binom{3}{2}(0,4)^{2}(0,6)^{1}=3\cdot (0,4)^{2}\cdot0,6.Calcule (0,4)^{2}=0,16, depois 0,16\cdot0,6=0,096 e 3\cdot0,096=0,288. Logo P(X=2)=0,288.
    • Para k=3:
    P(X=3)=\binom{3}{3}(0,4)^{3}(0,6)^{0}=1\cdot(0,4)^{3}\cdot1.Calcule (0,4)^{2}=0,16 e (0,4)^{3}=0,16\cdot0,4=0,064. Logo P(X=3)=0,064.

Passo 6

Verificação rápida de consistência (soma das probabilidades = 1):
0,216 + 0,432 + 0,288 + 0,064 = 1,000.
A soma é 1, então as probabilidades estão corretas e bem normalizadas.

Passo 7

Resumo final e dica para prova:
  • Regra prática: quando a amostra é pequena e o lote grande, trate cada retirada como um ensaio independente com mesma p e use a binomial.
  • Anote sempre n, p e o conjunto de possíveis k. Se precisar, calcule os coeficientes binomiais com a fórmula \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}, mas para n=3 é muito rápido de cabeça.
  • Vai dar certo — respira e resolve passo a passo como fizemos!

Resposta

P(X=k)=\binom{3}{k}\,(0,4)^{k}\,(0,6)^{3-k},\qquad k=0,1,2,3.
P(X=0)=0,216
P(X=1)=0,432
P(X=2)=0,288
P(X=3)=0,064