Apresente a função de probabilidade para as seguintes variáveis aleatórias:
Número de peças com defeito em uma amostra de três peças, sorteadas aleatoriamente de um grande lote, em que 40% das peças são defeituosas.
Número de peças com defeito em uma amostra de três peças, sorteadas aleatoriamente de um grande lote, em que 40% das peças são defeituosas.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se a função de probabilidade (PMF) da variável aleatória que conta o número de peças com defeito numa amostra de três peças.
- Informações fornecidas:
- Tamanho da amostra:
. - Proporção (probabilidade) de peças defeituosas no lote:
. - A amostragem é aleatória e o lote é grande (isso é relevante para as hipóteses do modelo).
- Tamanho da amostra:
- A variável aleatória
é o número de peças defeituosas na amostra, logo os possíveis valores são .
Passo 2
Por que podemos usar um modelo com probabilidade fixa por peça:
- O lote é grande, então ao sortear três peças a probabilidade de uma peça ser defeituosa praticamente não muda dependendo das outras retiradas; isso permite tratar as observações como independentes e com mesma probabilidade de “sucesso” (defeito).
- Quando cada ensaio (cada peça) é independente e tem mesma probabilidade
de sucesso, o número de sucessos em ensaios segue a distribuição binomial. Vou explicar essa distribuição em detalhes no próximo passo.
Passo 3
Definição e fórmula da distribuição binomial (aula rápida):
- A distribuição binomial modela o número de sucessos em
ensaios independentes, cada um com probabilidade de sucesso. - Variáveis:
-
: número de ensaios (aqui ). -
: número de sucessos (aquilo que X pode assumir). -
: probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui ). -
: probabilidade de fracasso (aqui ).
-
- Fórmula da função de probabilidade (PMF):
onde
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais
ensaios, entre
, serão sucessos).
- Interpretação do coeficiente
: ele conta as diferentes posições das peças defeituosas entre as peças. Por exemplo, com e há maneiras de ter exatamente uma peça defeituosa (defeito na 1ª, ou na 2ª, ou na 3ª).
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso (
,
):
- Substituindo na fórmula obtemos a expressão geral para cada
:
Passo 5
Cálculo passo a passo das probabilidades numéricas:
- Primeiro, os coeficientes binomiais:
-
. -
. -
. -
.
-
- Agora cada probabilidade:
- Para
:
Calcule e . Logo - Para
:
Calcule e . Logo - Para
:
Calcule , depois e . Logo - Para
:
Calcule e . Logo - Para
Passo 6
Verificação rápida de consistência (soma das probabilidades = 1):
A soma é
, então as probabilidades estão corretas e bem normalizadas.
Passo 7
Resumo final e dica para prova:
- Regra prática: quando a amostra é pequena e o lote grande, trate cada retirada como um ensaio independente com mesma
e use a binomial. - Anote sempre
, e o conjunto de possíveis . Se precisar, calcule os coeficientes binomiais com a fórmula , mas para é muito rápido de cabeça. - Vai dar certo — respira e resolve passo a passo como fizemos!