Apresente a solução geral da equação de Bessel modificada de ordem zero
onde
e
são as funções de Bessel modificadas de primeira e segunda espécie, respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação de Bessel modificada de ordem zero, cuja forma diferencial é
Vamos usar o método de Frobenius para obter uma solução em série em torno de
e depois encontrar a segunda solução linearmente independente por redução de ordem.
Passo 2
Assumimos uma solução em série do tipo
Substituindo em
e coletando potências de
leva à equação indicial
com raiz dupla
. Isso indica que há uma solução analítica (sem fator
singular) em série de potências.
Passo 3
Do procedimento de coeficientes obtém-se a recorrência
com
arbitrário e normalmente
para manter apenas potências pares. Escolhendo
, temos
que é a função de Bessel modificada de primeira espécie de ordem zero.
Passo 4
Como a raiz
é dupla, a segunda solução não é apenas outra série de potências, mas envolve termo
. Aplicando redução de ordem ou usando a definição integral, chega-se à solução
a função de Bessel modificada de segunda espécie (ou de Macdonald) de ordem zero, que é singular em
.
Passo 5
Por serem
e
duas soluções linearmente independentes, a solução geral da equação é a combinação linear delas.
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.