Apresente a solução geral da equação de Bessel modificada de ordem zero
y(x)=A I_{0}(x)+B K_{0}(x),
onde I_{0} e K_{0} são as funções de Bessel modificadas de primeira e segunda espécie, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Bessel modificada de ordem zero, cuja forma diferencial é
y''(x) + \frac{1}{x}\,y'(x) - y(x) = 0.
Vamos usar o método de Frobenius para obter uma solução em série em torno de x=0 e depois encontrar a segunda solução linearmente independente por redução de ordem.

Passo 2

Assumimos uma solução em série do tipo
y(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_{k}\,x^{k+r}.
Substituindo em
y'' + \frac1x\,y' - y = 0
e coletando potências de x leva à equação indicial
r^2 = 0
com raiz dupla r=0. Isso indica que há uma solução analítica (sem fator x^r singular) em série de potências.

Passo 3

Do procedimento de coeficientes obtém-se a recorrência
a_{k+2} \;=\; \frac{a_{k}}{(k+1)^2},
com a_0\neq0 arbitrário e normalmente a_1=0 para manter apenas potências pares. Escolhendo a_0=1, temos
I_{0}(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{(m!)^2}\,\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2m},
que é a função de Bessel modificada de primeira espécie de ordem zero.

Passo 4

Como a raiz r=0 é dupla, a segunda solução não é apenas outra série de potências, mas envolve termo \ln x. Aplicando redução de ordem ou usando a definição integral, chega-se à solução
K_{0}(x),
a função de Bessel modificada de segunda espécie (ou de Macdonald) de ordem zero, que é singular em x=0.

Passo 5

Por serem I_{0}(x) e K_{0}(x) duas soluções linearmente independentes, a solução geral da equação é a combinação linear delas.

Resposta

y(x) = A\,I_{0}(x) + B\,K_{0}(x),
onde A e B são constantes arbitrárias.

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