(a) Aproxime
por um polinômio de Taylor com grau
no número
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa aproximar a função
por um polinômio de Taylor de grau 2 em torno de
, válido para
. Para isso, vamos usar o polinômio de Taylor, que é uma ferramenta da matemática para aproximar funções por polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como montar um polinômio de Taylor. A fórmula geral para um polinômio de Taylor de grau
em torno de
é:
Como nosso ponto de expansão é
e o grau é 2, vamos parar nos termos até o segundo grau.
Passo 3
Vamos calcular
:
Esse é o primeiro termo do polinômio de Taylor.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a primeira derivada de
. Usamos a regra da cadeia para derivar:
Agora, avaliamos
:
Então, o termo linear do polinômio é zero.
Passo 5
Precisamos agora da segunda derivada de
. Vamos derivar
:
Aplicando a regra do quociente e simplificando, obtemos:
Avaliando em
:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 2 para
em torno de
é: