(a) Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n no número a. f(x) = raiz(1 + x^2), a = 0, n = 2, |x| <= 0.5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa aproximar a função por um polinômio de Taylor de grau 2 em torno de , válido para . Para isso, vamos usar o polinômio de Taylor, que é uma ferramenta da matemática para aproximar funções por polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como montar um polinômio de Taylor. A fórmula geral para um polinômio de Taylor de grau em torno de é:
Como nosso ponto de expansão é e o grau é 2, vamos parar nos termos até o segundo grau.

Passo 3

Vamos calcular :
Esse é o primeiro termo do polinômio de Taylor.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a primeira derivada de . Usamos a regra da cadeia para derivar:
Agora, avaliamos :
Então, o termo linear do polinômio é zero.

Passo 5

Precisamos agora da segunda derivada de . Vamos derivar :
Aplicando a regra do quociente e simplificando, obtemos:
Avaliando em :

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 2 para em torno de é:

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