Ar , inicialmente a 21^circ C e 101,3 kPa, é comprimido em um compressor do tipo cilindro-pistão até a pressão de 1,2 Mpa. Pode-se dizer que o processo de compressão do ar é representável por um processo politrópico reversível. Tratando o ar como um gás ideal, pede-se para calcular o trabalho realizado e o calor transferido no processo de compressão de 4 kg de ar para os casos em que o expoente politrópico for igual a 1 e a 1,2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a compressão de ar em um compressor do tipo cilindro-pistão. A gente tem 4 kg de ar que começa a 21^circ C e 101,3 kPa, e é comprimido até 1,2 MPa. O processo é politrópico reversível, e vamos tratar o ar como um gás ideal. Precisamos calcular o trabalho realizado (W) e o calor transferido (Q) para dois casos: quando o expoente politrópico n é 1 e quando n é 1,2. Para resolver isso, vamos usar as equações de processos politrópicos para gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as temperaturas para Kelvin, já que nas equações de gás ideal a temperatura deve estar em Kelvin. A temperatura inicial é 21^circ C, então:
T1 = 21 + 273,15 = 294,15 , K

Passo 3

Agora, vamos lembrar que para um gás ideal, a relação entre pressão, volume e temperatura é dada pela equação de estado:
PV = mRT
Onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • m é a massa,
  • R é a constante específica do gás,
  • T é a temperatura.
Vamos precisar encontrar o volume inicial e final, ou relacionar as pressões e temperaturas para os processos.

Passo 4

Como estamos lidando com um processo politrópico, a relação entre pressão e volume é:
PV^n = constante
Também podemos relacionar as temperaturas e volumes:
T V^n-1 = constante
E para trabalho realizado em um processo politrópico:
W = P2 V2 - P1 V11 - n
E para o calor transferido:
Q = W + De
Onde De é a variação da energia interna, que para um gás ideal é:
De

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a constante específica R para o ar. O valor de R para o ar é aproximadamente 0,287 , kJ/(kg cdot K).
Agora, vamos calcular o volume inicial V1 usando a equação de gás ideal:
V1 = m R T1P1
Convertendo as pressões para kPa para manter as unidades consistentes:
P1 = 101,3 , kPa
Então:
V1 = 4 times 0,287 times 294,15101,3 approx 337,78101,3 approx 3,337 , m^3

Passo 6

Agora, vamos calcular o volume final V2. Sabemos que PV^n = constante, então:
P1 V1^n = P2 V2^n
Então:
V2 = V1 ( P1P2 )^1/n
Substituindo os valores para cada caso de n.

Passo 7

Vamos primeiro calcular para n = 1.
Para n = 1, o processo é isotérmico, pois PV = constante implica que T também é constante.
Então:
V2 = V1 ( P1P2 )^1/1 = V1 P1P2
Convertendo P2 para kPa:
P2 = 1,2 , MPa = 1200 , kPa
Então:
V2 = 3,337 times 101,31200 approx 3,337 times 0,0844 approx 0,282 , m^3

Passo 8

Agora, vamos calcular o trabalho realizado para n = 1 (isotérmico). A equação do trabalho para processo isotérmico é:
W = m R T ln ( V2V1 )
Substituindo os valores:
W = 4 times 0,287 times 294,15 times ln ( 0,2823,337 )
Calculando:
W approx 4 times 0,287 times 294,15 times ln(0,0844) approx 4 times 0,287 times 294,15 times (-2,467) approx -825,5 , kJ
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado sobre o sistema.

Passo 9

Para o calor transferido Q no processo isotérmico ( n=1), como a variação de energia interna De (já que a temperatura é constante), temos:
Q = W
Então:
Q approx -825,5 , kJ

Passo 10

Agora, vamos para o caso de n = 1,2.
Primeiro, vamos calcular o volume final V2 usando:
V2 = V1 ( P1P2 )^1/n = 3,337 times ( 101,31200 )^1/1,2
Calculando:
( 101,31200 )^1/1,2 approx (0,0844)^0,8333 approx 0,127
Então:
V2 approx 3,337 times 0,127 approx 0,423 , m^3

Passo 11

Agora, calculamos o trabalho realizado para n = 1,2 usando:
W = P2 V2 - P1 V11 - n
Substituindo os valores:
W = 1200 times 0,423 - 101,3 times 3,3371 - 1,2 approx 507,6 - 338,1-0,2 approx 169,5-0,2 approx -847,5 , kJ
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado sobre o sistema.

Passo 12

Para calcular o calor transferido Q no processo com n = 1,2, usamos:
Q = W + De
Primeiro, calculamos a variação da energia interna De:
De
Para ar, cv approx 0,718 , kJ/(kg cdot K).
Precisamos encontrar a temperatura final T2. Usando a relação:
T2 = T1 ( V1V2 )^n-1 = 294,15 times ( 3,3370,423 )^0,2
Calculando:
( 3,3370,423 )^0,2 approx (7,89)^0,2 approx 1,395
Então:
T2 approx 294,15 times 1,395 approx 410,5 , K
Então:
De
Agora:
De
Então:
Q = -847,5 + 334,1 approx -513,4 , kJ

Resposta

Para n = 1:
  • Trabalho realizado: W approx -825,5 , kJ
  • Calor transferido: Q approx -825,5 , kJ
Para n = 1,2:
  • Trabalho realizado: W approx -847,5 , kJ
  • Calor transferido: Q approx -513,4 , kJ

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