Uma máquina simples usa um quilo de ar, que pode ser modelado como gás perfeito nas condições de operação, e opera em um sistema cilindro-pistão. O gás é inicialmente aquecido a volume constante do estado 1 ( T 1=300 K, P 1=0,2 MPa ) ao estado 2 ( T^2=800 K ). Em seguida, ele é resfriado à temperatura constante até o estado 3 , em que P 3=P1=0,2 MPa, e, finalmente, é resfriado à pressão constante, retornando ao estado 1. Considere ainda que k=Cp / Cv=1,4 e R = 0,286 kJ/kg K.
Encontre as expressões para calor e trabalho em cada um dos processos, indicando se são grandezas positivas e negativas, de acordo com a convenção termodinâmica;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma máquina que usa 1 kg de ar, considerado como um gás perfeito, num sistema cilindro-pistão. A máquina passa por três processos diferentes:
  1. Estado 1 para Estado 2: O gás é aquecido com o volume constante, aumentando a temperatura de 300 K para 800 K.
  2. Estado 2 para Estado 3: O gás é resfriado à temperatura constante até a pressão voltar a 0,2 MPa.
  3. Estado 3 para Estado 1: O gás é resfriado à pressão constante, retornando ao estado inicial.
Vamos usar conceitos de termodinâmica, como as leis dos gases perfeitos, e entender como calcular o calor e o trabalho em cada processo.

Passo 2

Processo 1: Estado 1 para Estado 2 (Volume Constante)
Quando o volume permanece constante ( V = constante), não há trabalho realizado pelo gás, porque trabalho ( W) em termodinâmica é dado por:
W = P De
Como De, então W = 0.
Mas, como o gás é aquecido, ele absorve calor. A quantidade de calor ( Q) em um processo a volume constante pode ser calculada usando:
Q = m cdot Cv cdot De
Onde:
  • m é a massa do gás (1 kg).
  • Cv é a capacidade calorífica a volume constante.
  • De é a variação de temperatura.
Sabemos que:
Cp = k cdot Rk - 1
Cv = Cpk
Substituindo os valores:
Cp = 1,4 cdot 0,2861,4 - 1 = 0,40040,4 = 1,001 kJ/kg·K
Cv = 1,0011,4 approx 0,715 kJ/kg·K
Agora, calculando o calor:
Q1-2 = 1 cdot 0,715 cdot (800 - 300) = 0,715 cdot 500 = 357,5 kJ
Como o calor foi fornecido ao sistema, Q1-2 é positivo.

Passo 3

Processo 2: Estado 2 para Estado 3 (Temperatura Constante)
Aqui, a temperatura permanece constante ( T = constante), o que caracteriza um processo isotérmico. Em um processo isotérmico para um gás perfeito, a relação entre pressão e volume é dada por:
P cdot V = constante
O trabalho realizado durante esse processo é:
W = n cdot R cdot T cdot ln(V3V2)
Mas, como estamos trabalhando com massa ( m) e a equação dos gases perfeitos:
W = m cdot R cdot T cdot ln(V3V2)
No entanto, sabemos que:
V3V2 = P2P3 = P2P1
Como P3 = P1, temos V3V2 = 1, e portanto:
W = m cdot R cdot T cdot ln(1) = 0
Assim, o trabalho W2-3 é zero, já que não há variação de volume.
O calor Q em processos isotérmicos é igual ao trabalho realizado:
Q2-3 = W2-3 = 0 kJ

Passo 4

Processo 3: Estado 3 para Estado 1 (Pressão Constante)
Nesse último processo, a pressão é mantida constante ( P = constante), caracterizando um processo isobárico. O trabalho realizado em um processo isobárico é:
W = P cdot De
Primeiro, precisamos encontrar De. Usando a equação dos gases perfeitos:
V = m cdot R cdot TP
Calculando V3 e V1:
V3 = 1 cdot 0,286 cdot 8000,2 = 228,80,2 = 1144 m^3
V1 = 1 cdot 0,286 cdot 3000,2 = 85,80,2 = 429 m^3
Então, De
Agora, calculando o trabalho:
W3-1 = 0,2 cdot (-715) = -143 kJ
Segundo a convenção termodinâmica:
  • Trabalho negativo significa que o trabalho é realizado sobre o sistema.
Para o calor em um processo isobárico:
Q = m cdot Cp cdot De
De
Mas precisamos encontrar T3. Sabemos que no processo 2, T ficou constante em 800 K, então no processo 3, voltamos a 300 K. Portanto:
De
Calculando o calor:
Q3-1 = 1 cdot 1,001 cdot (-500) = -500,5 kJ
Aqui, o calor é negativo, indicando que o calor é retirado do sistema.

Resposta

  • Processo 1 (Estado 1 → Estado 2):
    • Calor: Q1-2 = +357,5 kJ (positivo, calor fornecido ao sistema)
    • Trabalho: W1-2 = 0 kJ (nenhum trabalho realizado)
  • Processo 2 (Estado 2 → Estado 3):
    • Calor: Q2-3 = 0 kJ (nenhum calor trocado)
    • Trabalho: W2-3 = 0 kJ (nenhum trabalho realizado)
  • Processo 3 (Estado 3 → Estado 1):
    • Calor: Q3-1 = -500,5 kJ (negativo, calor retirado do sistema)
    • Trabalho: W3-1 = -143 kJ (negativo, trabalho realizado sobre o sistema)

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