A área de um retângulo é decrescente a uma taxa constante de 9 centímetros quadrados por segundo. Num instante qualquer, o comprimento
do retângulo é decrescente duas vezes mais rápido que a largura
. Num certo instante está a 1 centímetro por centímetro quadrado. Neste instante, quão rapidamente a largura está decrescendo?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar bem claro para a gente não se perder):
- A área
do retângulo está decrescendo a uma taxa constante de centímetros quadrados por segundo. Ou seja,
- O comprimento (denotado por
) está decrescendo duas vezes mais rápido que a largura . Em forma matemática isso significa que, em qualquer instante,
- Num certo instante, a área vale
centímetro quadrado (peguei do enunciado a frase que indica esse valor): portanto, nesse instante
- O que o enunciado pede: “Neste instante, quão rapidamente a largura está decrescendo?” — isto é, queremos encontrar
no instante em que .
Passo 2
Vamos lembrar a relação básica entre área, comprimento e largura de um retângulo. A área é o produto do comprimento pelo largura:
Aqui
é a área (em
),
é o comprimento (em
) e
é a largura (em
). Essa fórmula vale em qualquer instante de tempo, portanto também vale no instante que nos interessa.
Passo 3
Agora precisamos relacionar as taxas de variação. Para isso vamos derivar ambos os lados da igualdade
em relação ao tempo
. Como o lado direito é produto de duas funções dependentes do tempo, usamos a regra do produto. Vou explicar a regra do produto rapidinho:
- Se
e são funções de , então
Aplicando isso a
obtemos:
Isto é intuitivo: a taxa de variação da área vem da soma do efeito da variação da largura mantendo
fixo mais o efeito da variação do comprimento mantendo
fixo.
Passo 4
Substituímos a relação entre
e
(dada pelo enunciado) na equação diferenciada. Lembre-se que a condição era
. Assim:
Então temos uma fórmula que relaciona
com
e os comprimentos atuais
e
.
Passo 5
Agora substituímos o valor conhecido de
, que é
. Isso dá:
Queremos isolar
, então
Neste ponto temos
em termos de
e
. Mas lembramos também que no instante considerado a área vale
, e que
. Portanto, nesse instante
Vou usar essa última relação para eliminar
da fórmula anterior.
Passo 6
Substituindo
em
obtemos:
Agora fazemos a simplificação algébrica: somamos os termos no denominador com denominador comum
,
Logo
Portanto, a taxa de variação da largura no instante em que
é
Isto ainda depende do valor de
nesse instante — o enunciado dá a área
, mas não dá separadamente
ou
. A expressão acima é a taxa pedida escrita em termos da largura
no instante considerado.
Passo 7
Interpretação e unidades (para animar um pouco): a resposta ficou negativa, como era de esperar, porque a largura está decrescendo. A unidade é
. Se por hipótese tivéssemos um valor numérico para
naquele instante, bastaria substituir na expressão
para obter o número. Por exemplo, se por acaso
(o que implicaria
porque
), então
Mas esse valor numérico só vale se
. Sem um valor adicional para
(ou para
), a forma geral dada no passo anterior é a resposta correta e completa.