A área de um retângulo é decrescente a uma taxa constante de 9 centímetros quadrados por segundo. Num instante qualquer, o comprimento I do retângulo é decrescente duas vezes mais rápido que a largura w. Num certo instante está a 1 centímetro por centímetro quadrado. Neste instante, quão rapidamente a largura está decrescendo?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar bem claro para a gente não se perder):
  • A área A do retângulo está decrescendo a uma taxa constante de 9 centímetros quadrados por segundo. Ou seja,
\frac{dA}{dt} = -9\\ \text{cm}^2/\text{s}.
  • O comprimento (denotado por I) está decrescendo duas vezes mais rápido que a largura w. Em forma matemática isso significa que, em qualquer instante,
\frac{dI}{dt} = 2\,\frac{dw}{dt}.
  • Num certo instante, a área vale 1 centímetro quadrado (peguei do enunciado a frase que indica esse valor): portanto, nesse instante
A = 1\\ \text{cm}^2.
  • O que o enunciado pede: “Neste instante, quão rapidamente a largura está decrescendo?” — isto é, queremos encontrar \dfrac{dw}{dt} no instante em que A=1.

Passo 2

Vamos lembrar a relação básica entre área, comprimento e largura de um retângulo. A área é o produto do comprimento pelo largura:
A = I \cdot w.
Aqui A é a área (em \text{cm}^2), I é o comprimento (em \text{cm}) e w é a largura (em \text{cm}). Essa fórmula vale em qualquer instante de tempo, portanto também vale no instante que nos interessa.

Passo 3

Agora precisamos relacionar as taxas de variação. Para isso vamos derivar ambos os lados da igualdade A = I\cdot w em relação ao tempo t. Como o lado direito é produto de duas funções dependentes do tempo, usamos a regra do produto. Vou explicar a regra do produto rapidinho:
  • Se u(t) e v(t) são funções de t, então
\frac{d}{dt}\big(u v\big) = u\,\frac{dv}{dt} + v\,\frac{du}{dt}.
Aplicando isso a A = I\cdot w obtemos:
\frac{dA}{dt} = I\,\frac{dw}{dt} + w\,\frac{dI}{dt}.
Isto é intuitivo: a taxa de variação da área vem da soma do efeito da variação da largura mantendo I fixo mais o efeito da variação do comprimento mantendo w fixo.

Passo 4

Substituímos a relação entre \dfrac{dI}{dt} e \dfrac{dw}{dt} (dada pelo enunciado) na equação diferenciada. Lembre-se que a condição era \dfrac{dI}{dt} = 2\,\dfrac{dw}{dt}. Assim:
\frac{dA}{dt} = I\,\frac{dw}{dt} + w\left(2\,\frac{dw}{dt}\right) = \big(I + 2w\big)\frac{dw}{dt}.
Então temos uma fórmula que relaciona \dfrac{dA}{dt} com \dfrac{dw}{dt} e os comprimentos atuais I e w.

Passo 5

Agora substituímos o valor conhecido de \dfrac{dA}{dt}, que é -9. Isso dá:
-9 = \big(I + 2w\big)\frac{dw}{dt}.
Queremos isolar \dfrac{dw}{dt}, então
\frac{dw}{dt} = \frac{-9}{I + 2w}.
Neste ponto temos \dfrac{dw}{dt} em termos de I e w. Mas lembramos também que no instante considerado a área vale 1, e que A = I w. Portanto, nesse instante
I w = 1 \quad\Rightarrow\quad I = \frac{1}{w}.
Vou usar essa última relação para eliminar I da fórmula anterior.

Passo 6

Substituindo I = \dfrac{1}{w} em \dfrac{dw}{dt} = \dfrac{-9}{I + 2w} obtemos:
\frac{dw}{dt} = \frac{-9}{\dfrac{1}{w} + 2w}.
Agora fazemos a simplificação algébrica: somamos os termos no denominador com denominador comum w,
\frac{1}{w} + 2w = \frac{1 + 2w^2}{w}.
Logo
\frac{dw}{dt} = \frac{-9}{\dfrac{1+2w^2}{w}} = -9 \cdot \frac{w}{1+2w^2}.
Portanto, a taxa de variação da largura no instante em que A=1 é
\frac{dw}{dt} = -\frac{9w}{1+2w^2}\\ \text{cm/s}.
Isto ainda depende do valor de w nesse instante — o enunciado dá a área A=1, mas não dá separadamente w ou I. A expressão acima é a taxa pedida escrita em termos da largura w no instante considerado.

Passo 7

Interpretação e unidades (para animar um pouco): a resposta ficou negativa, como era de esperar, porque a largura está decrescendo. A unidade é \text{cm/s}. Se por hipótese tivéssemos um valor numérico para w naquele instante, bastaria substituir na expressão -\dfrac{9w}{1+2w^2} para obter o número. Por exemplo, se por acaso w=1\\ \text{cm} (o que implicaria I=1 porque A=1), então
\frac{dw}{dt} = -\frac{9\cdot 1}{1+2\cdot 1^2} = -\frac{9}{3} = -3\\ \text{cm/s}.
Mas esse valor numérico só vale se w=1. Sem um valor adicional para w (ou para I), a forma geral dada no passo anterior é a resposta correta e completa.

Resposta

\displaystyle \frac{dw}{dt}=-\frac{9w}{1+2w^{2}}\\ \text{cm/s}