Em um arranjo de fenda dupla, a primeira franja clara ( m=1 ) aparece em um ângulo \theta=0,001 \mathrm{rad}. Se o comprimento de onda da luz for \lambda=500 \mathrm{~nm}, qual é a separação d entre as fendas?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (peguei estes valores diretamente do enunciado):
  • Primeira franja clara: m=1.
  • Ângulo onde essa franja aparece: \theta=0,001\\ \mathrm{rad}.
  • Comprimento de onda: \lambda=500\\ \mathrm{nm}.
    O que se pede: determinar a separação entre as fendas d.

Passo 2

Idea física e fórmula principal (sem pular passos). Em um arranjo de fenda dupla, a diferença de caminho entre a luz vindo das duas fendas, para um ponto no anteparo a um ângulo \theta, é aproximadamente d\sin\theta (isso vem da geometria: projetando a distância entre as fendas na direção da linha que vai ao ponto do anteparo). Condição para máximos construtivos (franjas claras) é que essa diferença de caminho seja um múltiplo inteiro do comprimento de onda:
d\sin\theta = m\lambda.
Aqui:
  • d é a separação entre as fendas (o que queremos),
  • \theta é o ângulo medido a partir da direção central,
  • m é a ordem do máximo (inteiro: 0,\pm1,\pm2,\dots),
  • \lambda é o comprimento de onda da luz.

Passo 3

Escolha do método e aproximação prática. O enunciado não exige método específico; a equação acima é a forma padrão para franja de interferência em fenda dupla. Para ângulos pequenos (em radianos), vale a aproximação:
\sin\theta \approx \theta\quad\text{quando }\theta\ll1.
Isto facilita contas sem calculadora e é válida aqui porque \theta=0,001 é muito pequeno. A partir disso, a fórmula fica simples e prática para prova:
d \approx \frac{m\lambda}{\theta}.

Passo 4

Isolar d na fórmula (passo algébrico claro):
d=\frac{m\lambda}{\sin\theta}.
Com a aproximação de ângulo pequeno:
d\approx\frac{m\lambda}{\theta}.

Passo 5

Substituir os valores (fazendo as conversões de unidades e contas passo a passo):
  • Converter \lambda para metros: \lambda=500\\ \mathrm{nm}=500\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
  • Usar m=1 e \theta=0,001.
Agora calcular:
d\approx\frac{1\cdot(500\times10^{-9}\\ \mathrm{m})}{0,001}.
Dividir por 0,001 é o mesmo que multiplicar por 1000, então
d\approx 500\times10^{-9}\times1000\\ \mathrm{m}=500\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Reescrevendo em potência de dez:
500\times10^{-6}=5\times10^{2}\times10^{-6}=5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Converter para uma unidade mais usual:
5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0,5\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Checagem rápida e dica de prova: conferir unidades (m/m cancela, ok) e lembrar a regra prática para ângulos pequenos: quando \theta está em radianos, para máximos de baixa ordem muitas vezes basta usar d\approx\lambda/\theta para m=1. Respire fundo — essa conta é direta e cai bastante em prova!

Resposta

d=5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0,5\\ \mathrm{mm}