Vamos analisar a afirmação de que o polinômio é irredutível em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra sobre polinômios e verificar se esse polinômio pode ser fatorado em polinômios de grau menor com coeficientes racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o polinômio possui raízes racionais. Se tiver, ele pode ser fatorado linearmente, o que significa que não é irredutível.
Passo 3
Usamos o Teorema das Raízes Racionais, que diz que possíveis raízes racionais são os divisores do termo constante (2018) divididos pelos divisores do coeficiente líder (1). Ou seja, as possíveis raízes são .
Passo 4
Testamos essas possíveis raízes substituindo no polinômio:
Similarmente, os outros valores também não zeram o polinômio.
Passo 5
Como o polinômio não possui raízes racionais, não pode ser fatorado em polinômios de grau 1 com coeficientes racionais. Agora, vamos verificar se ele pode ser fatorado em polinômios de grau 2.
Passo 6
Tentamos fatorar como o produto de dois polinômios quadráticos:
Expandindo e igualando aos termos de , obtemos um sistema de equações:
Procuramos valores inteiros que satisfaçam essas equações, mas não encontramos soluções que funcionem para todos os termos, especialmente considerando que 2018 não possui muitos fatores inteiros pequenos.
Passo 7
Como não conseguimos fatorar o polinômio em polinômios de grau menor com coeficientes racionais, concluímos que ele é irredutível em .