Assinale a alternativa incorreta.
© O polinômio p(x) = x^4 + 4x^3 + 12x^2 - 10x + 2018 é irredutível em Q[x].

Passo 1

Vamos analisar a afirmação de que o polinômio é irredutível em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra sobre polinômios e verificar se esse polinômio pode ser fatorado em polinômios de grau menor com coeficientes racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o polinômio possui raízes racionais. Se tiver, ele pode ser fatorado linearmente, o que significa que não é irredutível.

Passo 3

Usamos o Teorema das Raízes Racionais, que diz que possíveis raízes racionais são os divisores do termo constante (2018) divididos pelos divisores do coeficiente líder (1). Ou seja, as possíveis raízes são .

Passo 4

Testamos essas possíveis raízes substituindo no polinômio:
  • Similarmente, os outros valores também não zeram o polinômio.

Passo 5

Como o polinômio não possui raízes racionais, não pode ser fatorado em polinômios de grau 1 com coeficientes racionais. Agora, vamos verificar se ele pode ser fatorado em polinômios de grau 2.

Passo 6

Tentamos fatorar como o produto de dois polinômios quadráticos:
Expandindo e igualando aos termos de , obtemos um sistema de equações:
Procuramos valores inteiros que satisfaçam essas equações, mas não encontramos soluções que funcionem para todos os termos, especialmente considerando que 2018 não possui muitos fatores inteiros pequenos.

Passo 7

Como não conseguimos fatorar o polinômio em polinômios de grau menor com coeficientes racionais, concluímos que ele é irredutível em .

Resposta

A alternativa © é correta, pois o polinômio é irredutível em .

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