e pede que se assinale qual das opções é o conjunto- solução desse sistema homogêneo, para algum valor apropriado de \ast. Informações relevantes extraídas da matriz (sem resolver ainda):
Cada linha corresponde a uma equação linear homogênea em quatro variáveis \(x_1,x_2,x_3,x_4).
A primeira linha dá uma equação envolvendo \(x_1) e \(x_3).
A segunda linha dá uma equação envolvendo \(x_2) e \(x_3).
A terceira linha fixa \(x_4).
A pergunta concreta: qual opção entre (A)–(F), ao escolher um valor para \ast, descreve exatamente o conjunto de todas as soluções (x_1,x_2,x_3,x_4) do sistema acima?]
Passo 2
Interpretar cada linha como equação e escrevê-las explicitamente. Da primeira linha obtém-se
x_1 + 5x_3 = 0.
Da segunda linha obtém-se
x_2 - 3x_3 = 0.
Da terceira linha obtém-se
x_4 = 0.
Comentário didático: estas equações vêm diretamente das entradas da matriz aumentada — a primeira coluna multiplica \(x_1), a segunda \(x_2), a terceira \(x_3), a quarta \(x_4) e a coluna à direita do traço vertical é o termo independente (aqui sempre 0). Como o sistema é homogêneo (todos os termos independentes são 0), a solução sempre contém o vetor zero e costuma ser um subespaço.
Passo 3
Identificar variáveis pivô e variáveis livres. Observando as equações:
\(x_1) aparece como variável básica (pivot) na primeira equação;
\(x_2) é básica na segunda;
\(x_4) é diretamente fixada como 0;
\(x_3) não é pivô em nenhuma linha, portanto é uma variável livre.
Escolhemos um parâmetro para a variável livre: seja t\in\mathbb{R} e ponha
x_3 = t.
Agora expressamos as variáveis básicas em função de t. Das equações:
Agora comparar com as alternativas: a alternativa (A) é \operatorname{span}\{(-5,3,\ast,0)\}. Para fazer essa alternativa coincidir com a solução encontrada, precisamos escolher \ast tal que o vetor em (A) seja (-5,3,1,0). Assim \ast deve ser 1. Verificação rápida: nenhuma outra alternativa tem os dois primeiros componentes -5 e 3 simultaneamente, então só (A) pode corresponder ao conjunto de soluções.