Assinale o subespaço que, para um valor apropriado de *, é o conjunto-solução de \left[\begin{array}{rrrr|r}1 & 0 & 5 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & -3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right].
(A) \operatorname{span}\{(-5,3, *, 0)\}
(B) \operatorname{span}\{(3,5, *, 0)\}
(C) \operatorname{span}\{(0,5, *, 3)\}
(D) \operatorname{span}\{(5,3, *, 0)\}
(E) \operatorname{span}\{(3,0, *, 5)\}
(F) \operatorname{span}\{(-3,5, *, 0)\}

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz aumentada
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & 0 & \vline & 0\\[4pt] 0 & 1 & -3 & 0 & \vline & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & \vline & 0 \end{pmatrix}
e pede que se assinale qual das opções é o conjunto- solução desse sistema homogêneo, para algum valor apropriado de \ast. Informações relevantes extraídas da matriz (sem resolver ainda):
  • Cada linha corresponde a uma equação linear homogênea em quatro variáveis \(x_1,x_2,x_3,x_4).
  • A primeira linha dá uma equação envolvendo \(x_1) e \(x_3).
  • A segunda linha dá uma equação envolvendo \(x_2) e \(x_3).
  • A terceira linha fixa \(x_4).
    A pergunta concreta: qual opção entre (A)–(F), ao escolher um valor para \ast, descreve exatamente o conjunto de todas as soluções (x_1,x_2,x_3,x_4) do sistema acima?]

Passo 2

Interpretar cada linha como equação e escrevê-las explicitamente. Da primeira linha obtém-se
x_1 + 5x_3 = 0.
Da segunda linha obtém-se
x_2 - 3x_3 = 0.
Da terceira linha obtém-se
x_4 = 0.
Comentário didático: estas equações vêm diretamente das entradas da matriz aumentada — a primeira coluna multiplica \(x_1), a segunda \(x_2), a terceira \(x_3), a quarta \(x_4) e a coluna à direita do traço vertical é o termo independente (aqui sempre 0). Como o sistema é homogêneo (todos os termos independentes são 0), a solução sempre contém o vetor zero e costuma ser um subespaço.

Passo 3

Identificar variáveis pivô e variáveis livres. Observando as equações:
  • \(x_1) aparece como variável básica (pivot) na primeira equação;
  • \(x_2) é básica na segunda;
  • \(x_4) é diretamente fixada como 0;
  • \(x_3) não é pivô em nenhuma linha, portanto é uma variável livre.
Escolhemos um parâmetro para a variável livre: seja t\in\mathbb{R} e ponha
x_3 = t.
Agora expressamos as variáveis básicas em função de t. Das equações:
x_1 = -5x_3 = -5t, \qquad x_2 = 3x_3 = 3t, \qquad x_4 = 0.
Portanto o vetor solução geral é
(x_1,x_2,x_3,x_4) = (-5t,\,3t,\,t,\,0) = t\,(-5,\,3,\,1,\,0).

Passo 4

Interpretar o conjunto de soluções como um subespaço gerado por um vetor. Como t varia por todos os escalares reais, o conjunto de soluções é
\{\,t(-5,3,1,0)\mid t\in\mathbb{R}\,\}=\operatorname{span}\{(-5,3,1,0)\}.
Agora comparar com as alternativas: a alternativa (A) é \operatorname{span}\{(-5,3,\ast,0)\}. Para fazer essa alternativa coincidir com a solução encontrada, precisamos escolher \ast tal que o vetor em (A) seja (-5,3,1,0). Assim \ast deve ser 1. Verificação rápida: nenhuma outra alternativa tem os dois primeiros componentes -5 e 3 simultaneamente, então só (A) pode corresponder ao conjunto de soluções.

Resposta

(A) com \ast=1